Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14680 / 7497
↖ ↑ ↗
← N 69.376443°
W 18.720703°		 ← 430.29 m → N 69.376443°
W 18.709717°		 →
↑
430.30 m
↓
↑
430.30 m
↓
N 69.372574°
W 18.720703°		 ← 430.37 m →
185 171 m²		 N 69.372574°
W 18.709717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448013305664062 y=0.228805541992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448013305664062 × 215)
    floor (0.448013305664062 × 32768)
    floor (14680.5)     		tx = 14680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228805541992188 × 215)
    floor (0.228805541992188 × 32768)
    floor (7497.5)     		ty = 7497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14680 / 7497 ti = "15/14680/7497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14680/7497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14680 ÷ 215
    14680 ÷ 32768     		x = 0.447998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7497 ÷ 215
    7497 ÷ 32768     		y = 0.228790283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447998046875 × 2 - 1) × π
    -0.10400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32673791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228790283203125 × 2 - 1) × π
    0.54241943359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.70406090769376
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32673791} λ = -0.32673791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70406090769376))-π/2
    2×atan(5.49622178331905)-π/2
    2×1.39082184361937-π/2
    2.78164368723873-1.57079632675     		φ = 1.21084736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32673791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.720703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21084736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.376443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14680 KachelY 7497 -0.32673791 1.21084736 -18.720703 69.376443
    Oben rechts KachelX + 1 14681 KachelY 7497 -0.32654616 1.21084736 -18.709717 69.376443
    Unten links KachelX 14680 KachelY + 1 7498 -0.32673791 1.21077982 -18.720703 69.372574
    Unten rechts KachelX + 1 14681 KachelY + 1 7498 -0.32654616 1.21077982 -18.709717 69.372574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21084736-1.21077982) × R
    6.75400000000881e-05 × 6371000     		dl = 430.297340000561m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21084736-1.21077982) × R
    6.75400000000881e-05 × 6371000     		dr = 430.297340000561m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32673791--0.32654616) × cos(1.21084736) × R
    0.000191750000000046 × 0.352226471001823 × 6371000     		do = 430.293681864917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32673791--0.32654616) × cos(1.21077982) × R
    0.000191750000000046 × 0.352289681884009 × 6371000     		du = 430.370902759623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21084736)-sin(1.21077982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352226471001823-0.352289681884009)×R²
    abs(-0.32654616--0.32673791)×6.32108821864152e-05×R²
    0.000191750000000046×6.32108821864152e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.32108821864152e-05×40589641000000     		ar = 185170.840768729m²