Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14680 / 7448
↖ ↑ ↗
← N 69.565226°
W 18.720703°		 ← 426.52 m → N 69.565226°
W 18.709717°		 →
↑
426.60 m
↓
↑
426.60 m
↓
N 69.561390°
W 18.720703°		 ← 426.60 m →
181 972 m²		 N 69.561390°
W 18.709717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448013305664062 y=0.227310180664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448013305664062 × 215)
    floor (0.448013305664062 × 32768)
    floor (14680.5)     		tx = 14680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227310180664062 × 215)
    floor (0.227310180664062 × 32768)
    floor (7448.5)     		ty = 7448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14680 / 7448 ti = "15/14680/7448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14680/7448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14680 ÷ 215
    14680 ÷ 32768     		x = 0.447998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7448 ÷ 215
    7448 ÷ 32768     		y = 0.227294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447998046875 × 2 - 1) × π
    -0.10400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32673791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227294921875 × 2 - 1) × π
    0.54541015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.71345654001929
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32673791} λ = -0.32673791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71345654001929))-π/2
    2×atan(5.54810562142545)-π/2
    2×1.39246928182623-π/2
    2.78493856365246-1.57079632675     		φ = 1.21414224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32673791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.720703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21414224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.565226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14680 KachelY 7448 -0.32673791 1.21414224 -18.720703 69.565226
    Oben rechts KachelX + 1 14681 KachelY 7448 -0.32654616 1.21414224 -18.709717 69.565226
    Unten links KachelX 14680 KachelY + 1 7449 -0.32673791 1.21407528 -18.720703 69.561390
    Unten rechts KachelX + 1 14681 KachelY + 1 7449 -0.32654616 1.21407528 -18.709717 69.561390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21414224-1.21407528) × R
    6.69599999998383e-05 × 6371000     		dl = 426.60215999897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21414224-1.21407528) × R
    6.69599999998383e-05 × 6371000     		dr = 426.60215999897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32673791--0.32654616) × cos(1.21414224) × R
    0.000191750000000046 × 0.349140837699934 × 6371000     		do = 426.524151112222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32673791--0.32654616) × cos(1.21407528) × R
    0.000191750000000046 × 0.349203583141902 × 6371000     		du = 426.600803406889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21414224)-sin(1.21407528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349140837699934-0.349203583141902)×R²
    abs(-0.32654616--0.32673791)×6.2745441968326e-05×R²
    0.000191750000000046×6.2745441968326e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.2745441968326e-05×40589641000000     		ar = 181972.474241111m²