Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1468 / 1724
↖ ↑ ↗
← N 27.371767°
W 50.976563°		 ← 8 678.82 m → N 27.371767°
W 50.888672°		 →
↑
8 681.89 m
↓
↑
8 681.89 m
↓
N 27.293689°
W 50.976563°		 ← 8 684.94 m →
75 375 135 m²		 N 27.293689°
W 50.888672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3585205078125 y=0.4210205078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3585205078125 × 212)
    floor (0.3585205078125 × 4096)
    floor (1468.5)     		tx = 1468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4210205078125 × 212)
    floor (0.4210205078125 × 4096)
    floor (1724.5)     		ty = 1724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1468 / 1724 ti = "12/1468/1724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1468/1724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1468 ÷ 212
    1468 ÷ 4096     		x = 0.3583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1724 ÷ 212
    1724 ÷ 4096     		y = 0.4208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3583984375 × 2 - 1) × π
    -0.283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.88970886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4208984375 × 2 - 1) × π
    0.158203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.497009775260742
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88970886} λ = -0.88970886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.497009775260742))-π/2
    2×atan(1.64379858720132)-π/2
    2×1.02426189413306-π/2
    2.04852378826613-1.57079632675     		φ = 0.47772746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88970886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.976563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47772746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.371767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1468 KachelY 1724 -0.88970886 0.47772746 -50.976563 27.371767
    Oben rechts KachelX + 1 1469 KachelY 1724 -0.88817488 0.47772746 -50.888672 27.371767
    Unten links KachelX 1468 KachelY + 1 1725 -0.88970886 0.47636474 -50.976563 27.293689
    Unten rechts KachelX + 1 1469 KachelY + 1 1725 -0.88817488 0.47636474 -50.888672 27.293689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47772746-0.47636474) × R
    0.00136271999999998 × 6371000     		dl = 8681.8891199999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47772746-0.47636474) × R
    0.00136271999999998 × 6371000     		dr = 8681.8891199999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88970886--0.88817488) × cos(0.47772746) × R
    0.00153398000000005 × 0.88804204310942 × 6371000     		do = 8678.8229697844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88970886--0.88817488) × cos(0.47636474) × R
    0.00153398000000005 × 0.888667745584006 × 6371000     		du = 8684.9379516716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47772746)-sin(0.47636474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88804204310942-0.888667745584006)×R²
    abs(-0.88817488--0.88970886)×0.000625702474586043×R²
    0.00153398000000005×0.000625702474586043×6371000²
    0.00153398000000005×0.000625702474586043×40589641000000     		ar = 75375135.1774752m²