Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14679 / 7841
↖ ↑ ↗
← N 68.003457°
W 18.731690°		 ← 457.57 m → N 68.003457°
W 18.720703°		 →
↑
457.63 m
↓
↑
457.63 m
↓
N 67.999341°
W 18.731690°		 ← 457.65 m →
209 414 m²		 N 67.999341°
W 18.720703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447982788085938 y=0.239303588867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447982788085938 × 215)
    floor (0.447982788085938 × 32768)
    floor (14679.5)     		tx = 14679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.239303588867188 × 215)
    floor (0.239303588867188 × 32768)
    floor (7841.5)     		ty = 7841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14679 / 7841 ti = "15/14679/7841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14679/7841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14679 ÷ 215
    14679 ÷ 32768     		x = 0.447967529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7841 ÷ 215
    7841 ÷ 32768     		y = 0.239288330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447967529296875 × 2 - 1) × π
    -0.10406494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32692966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.239288330078125 × 2 - 1) × π
    0.52142333984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.63809973381656
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32692966} λ = -0.32692966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.63809973381656))-π/2
    2×atan(5.14538261973615)-π/2
    2×1.37884027226034-π/2
    2.75768054452068-1.57079632675     		φ = 1.18688422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32692966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.731690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18688422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.003457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14679 KachelY 7841 -0.32692966 1.18688422 -18.731690 68.003457
    Oben rechts KachelX + 1 14680 KachelY 7841 -0.32673791 1.18688422 -18.720703 68.003457
    Unten links KachelX 14679 KachelY + 1 7842 -0.32692966 1.18681239 -18.731690 67.999341
    Unten rechts KachelX + 1 14680 KachelY + 1 7842 -0.32673791 1.18681239 -18.720703 67.999341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18688422-1.18681239) × R
    7.1829999999995e-05 × 6371000     		dl = 457.628929999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18688422-1.18681239) × R
    7.1829999999995e-05 × 6371000     		dr = 457.628929999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32692966--0.32673791) × cos(1.18688422) × R
    0.000191749999999991 × 0.374550656989696 × 6371000     		do = 457.565783691877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32692966--0.32673791) × cos(1.18681239) × R
    0.000191749999999991 × 0.374617257262857 × 6371000     		du = 457.647145199632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18688422)-sin(1.18681239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374550656989696-0.374617257262857)×R²
    abs(-0.32673791--0.32692966)×6.66002731614657e-05×R²
    0.000191749999999991×6.66002731614657e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.66002731614657e-05×40589641000000     		ar = 209413.956775412m²