Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14679 / 7329
↖ ↑ ↗
← N 70.016833°
W 18.731690°		 ← 417.49 m → N 70.016833°
W 18.720703°		 →
↑
417.49 m
↓
↑
417.49 m
↓
N 70.013079°
W 18.731690°		 ← 417.56 m →
174 313 m²		 N 70.013079°
W 18.720703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447982788085938 y=0.223678588867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447982788085938 × 215)
    floor (0.447982788085938 × 32768)
    floor (14679.5)     		tx = 14679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223678588867188 × 215)
    floor (0.223678588867188 × 32768)
    floor (7329.5)     		ty = 7329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14679 / 7329 ti = "15/14679/7329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14679/7329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14679 ÷ 215
    14679 ÷ 32768     		x = 0.447967529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7329 ÷ 215
    7329 ÷ 32768     		y = 0.223663330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447967529296875 × 2 - 1) × π
    -0.10406494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32692966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223663330078125 × 2 - 1) × π
    0.55267333984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.73627450423843
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32692966} λ = -0.32692966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73627450423843))-π/2
    2×atan(5.67615748246772)-π/2
    2×1.39641029833795-π/2
    2.79282059667591-1.57079632675     		φ = 1.22202427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32692966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.731690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22202427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.016833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14679 KachelY 7329 -0.32692966 1.22202427 -18.731690 70.016833
    Oben rechts KachelX + 1 14680 KachelY 7329 -0.32673791 1.22202427 -18.720703 70.016833
    Unten links KachelX 14679 KachelY + 1 7330 -0.32692966 1.22195874 -18.731690 70.013079
    Unten rechts KachelX + 1 14680 KachelY + 1 7330 -0.32673791 1.22195874 -18.720703 70.013079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22202427-1.22195874) × R
    6.55299999998693e-05 × 6371000     		dl = 417.491629999167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22202427-1.22195874) × R
    6.55299999998693e-05 × 6371000     		dr = 417.491629999167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32692966--0.32673791) × cos(1.22202427) × R
    0.000191749999999991 × 0.341744052887277 × 6371000     		do = 417.487948461152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32692966--0.32673791) × cos(1.22195874) × R
    0.000191749999999991 × 0.341805636792932 × 6371000     		du = 417.563181777469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22202427)-sin(1.22195874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341744052887277-0.341805636792932)×R²
    abs(-0.32673791--0.32692966)×6.15839056555267e-05×R²
    0.000191749999999991×6.15839056555267e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.15839056555267e-05×40589641000000     		ar = 174313.42881025m²