Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14679 / 21475
↖ ↑ ↗
← S 48.712712°
W 18.731690°		 ← 806.08 m → S 48.712712°
W 18.720703°		 →
↑
806 m
↓
↑
806 m
↓
S 48.719961°
W 18.731690°		 ← 805.96 m →
649 650 m²		 S 48.719961°
W 18.720703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447982788085938 y=0.655380249023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447982788085938 × 215)
    floor (0.447982788085938 × 32768)
    floor (14679.5)     		tx = 14679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655380249023438 × 215)
    floor (0.655380249023438 × 32768)
    floor (21475.5)     		ty = 21475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14679 / 21475 ti = "15/14679/21475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14679/21475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14679 ÷ 215
    14679 ÷ 32768     		x = 0.447967529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21475 ÷ 215
    21475 ÷ 32768     		y = 0.655364990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447967529296875 × 2 - 1) × π
    -0.10406494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32692966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655364990234375 × 2 - 1) × π
    -0.31072998046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.976187023862824
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32692966} λ = -0.32692966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.976187023862824))-π/2
    2×atan(0.376744882870339)-π/2
    2×0.360299552344648-π/2
    0.720599104689296-1.57079632675     		φ = -0.85019722
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32692966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.731690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85019722 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.712712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14679 KachelY 21475 -0.32692966 -0.85019722 -18.731690 -48.712712
    Oben rechts KachelX + 1 14680 KachelY 21475 -0.32673791 -0.85019722 -18.720703 -48.712712
    Unten links KachelX 14679 KachelY + 1 21476 -0.32692966 -0.85032373 -18.731690 -48.719961
    Unten rechts KachelX + 1 14680 KachelY + 1 21476 -0.32673791 -0.85032373 -18.720703 -48.719961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85019722--0.85032373) × R
    0.00012651000000008 × 6371000     		dl = 805.995210000507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85019722--0.85032373) × R
    0.00012651000000008 × 6371000     		dr = 805.995210000507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32692966--0.32673791) × cos(-0.85019722) × R
    0.000191749999999991 × 0.659834965529178 × 6371000     		do = 806.080292412802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32692966--0.32673791) × cos(-0.85032373) × R
    0.000191749999999991 × 0.65973989930019 × 6371000     		du = 805.96415577612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85019722)-sin(-0.85032373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659834965529178-0.65973989930019)×R²
    abs(-0.32673791--0.32692966)×9.50662289880277e-05×R²
    0.000191749999999991×9.50662289880277e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.50662289880277e-05×40589641000000     		ar = 649650.052639831m²