Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14678 / 9442
↖ ↑ ↗
← N 60.403002°
W 18.742676°		 ← 603.33 m → N 60.403002°
W 18.731690°		 →
↑
603.40 m
↓
↑
603.40 m
↓
N 60.397575°
W 18.742676°		 ← 603.43 m →
364 079 m²		 N 60.397575°
W 18.731690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447952270507812 y=0.288162231445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447952270507812 × 215)
    floor (0.447952270507812 × 32768)
    floor (14678.5)     		tx = 14678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288162231445312 × 215)
    floor (0.288162231445312 × 32768)
    floor (9442.5)     		ty = 9442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14678 / 9442 ti = "15/14678/9442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14678/9442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14678 ÷ 215
    14678 ÷ 32768     		x = 0.44793701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9442 ÷ 215
    9442 ÷ 32768     		y = 0.28814697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44793701171875 × 2 - 1) × π
    -0.1041259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32712140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28814697265625 × 2 - 1) × π
    0.4237060546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.33111182864972
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32712140} λ = -0.32712140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33111182864972))-π/2
    2×atan(3.78524959779213)-π/2
    2×1.31251379441-π/2
    2.62502758882-1.57079632675     		φ = 1.05423126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32712140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.742676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05423126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.403002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14678 KachelY 9442 -0.32712140 1.05423126 -18.742676 60.403002
    Oben rechts KachelX + 1 14679 KachelY 9442 -0.32692966 1.05423126 -18.731690 60.403002
    Unten links KachelX 14678 KachelY + 1 9443 -0.32712140 1.05413655 -18.742676 60.397575
    Unten rechts KachelX + 1 14679 KachelY + 1 9443 -0.32692966 1.05413655 -18.731690 60.397575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05423126-1.05413655) × R
    9.47099999999423e-05 × 6371000     		dl = 603.397409999633m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05423126-1.05413655) × R
    9.47099999999423e-05 × 6371000     		dr = 603.397409999633m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32712140--0.32692966) × cos(1.05423126) × R
    0.000191739999999996 × 0.493896311505872 × 6371000     		do = 603.33165343178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32712140--0.32692966) × cos(1.05413655) × R
    0.000191739999999996 × 0.493978661606241 × 6371000     		du = 603.432250300108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05423126)-sin(1.05413655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.493896311505872-0.493978661606241)×R²
    abs(-0.32692966--0.32712140)×8.23501003691107e-05×R²
    0.000191739999999996×8.23501003691107e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.23501003691107e-05×40589641000000     		ar = 364079.107268811m²