Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14678 / 9433
↖ ↑ ↗
← N 60.451800°
W 18.742676°		 ← 602.43 m → N 60.451800°
W 18.731690°		 →
↑
602.51 m
↓
↑
602.51 m
↓
N 60.446382°
W 18.742676°		 ← 602.53 m →
362 996 m²		 N 60.446382°
W 18.731690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447952270507812 y=0.287887573242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447952270507812 × 215)
    floor (0.447952270507812 × 32768)
    floor (14678.5)     		tx = 14678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.287887573242188 × 215)
    floor (0.287887573242188 × 32768)
    floor (9433.5)     		ty = 9433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14678 / 9433 ti = "15/14678/9433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14678/9433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14678 ÷ 215
    14678 ÷ 32768     		x = 0.44793701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9433 ÷ 215
    9433 ÷ 32768     		y = 0.287872314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44793701171875 × 2 - 1) × π
    -0.1041259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32712140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.287872314453125 × 2 - 1) × π
    0.42425537109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.33283755703604
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32712140} λ = -0.32712140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33283755703604))-π/2
    2×atan(3.79178755021482)-π/2
    2×1.31293964021647-π/2
    2.62587928043294-1.57079632675     		φ = 1.05508295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32712140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.742676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05508295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.451800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14678 KachelY 9433 -0.32712140 1.05508295 -18.742676 60.451800
    Oben rechts KachelX + 1 14679 KachelY 9433 -0.32692966 1.05508295 -18.731690 60.451800
    Unten links KachelX 14678 KachelY + 1 9434 -0.32712140 1.05498838 -18.742676 60.446382
    Unten rechts KachelX + 1 14679 KachelY + 1 9434 -0.32692966 1.05498838 -18.731690 60.446382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05508295-1.05498838) × R
    9.45700000001271e-05 × 6371000     		dl = 602.505470000809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05508295-1.05498838) × R
    9.45700000001271e-05 × 6371000     		dr = 602.505470000809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32712140--0.32692966) × cos(1.05508295) × R
    0.000191739999999996 × 0.493155570289229 × 6371000     		do = 602.426782080059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32712140--0.32692966) × cos(1.05498838) × R
    0.000191739999999996 × 0.493237838417257 × 6371000     		du = 602.527278812981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05508295)-sin(1.05498838))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.493155570289229-0.493237838417257)×R²
    abs(-0.32692966--0.32712140)×8.22681280284177e-05×R²
    0.000191739999999996×8.22681280284177e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.22681280284177e-05×40589641000000     		ar = 362995.706664804m²