Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14678 / 21452
↖ ↑ ↗
← S 48.545706°
W 18.742676°		 ← 808.71 m → S 48.545706°
W 18.731690°		 →
↑
808.67 m
↓
↑
808.67 m
↓
S 48.552978°
W 18.742676°		 ← 808.59 m →
653 934 m²		 S 48.552978°
W 18.731690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447952270507812 y=0.654678344726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447952270507812 × 215)
    floor (0.447952270507812 × 32768)
    floor (14678.5)     		tx = 14678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654678344726562 × 215)
    floor (0.654678344726562 × 32768)
    floor (21452.5)     		ty = 21452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14678 / 21452 ti = "15/14678/21452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14678/21452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14678 ÷ 215
    14678 ÷ 32768     		x = 0.44793701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21452 ÷ 215
    21452 ÷ 32768     		y = 0.6546630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44793701171875 × 2 - 1) × π
    -0.1041259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32712140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6546630859375 × 2 - 1) × π
    -0.309326171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.971776829097778
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32712140} λ = -0.32712140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.971776829097778))-π/2
    2×atan(0.37841007038219)-π/2
    2×0.361756964138527-π/2
    0.723513928277053-1.57079632675     		φ = -0.84728240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32712140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.742676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84728240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.545706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14678 KachelY 21452 -0.32712140 -0.84728240 -18.742676 -48.545706
    Oben rechts KachelX + 1 14679 KachelY 21452 -0.32692966 -0.84728240 -18.731690 -48.545706
    Unten links KachelX 14678 KachelY + 1 21453 -0.32712140 -0.84740933 -18.742676 -48.552978
    Unten rechts KachelX + 1 14679 KachelY + 1 21453 -0.32692966 -0.84740933 -18.731690 -48.552978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84728240--0.84740933) × R
    0.00012692999999997 × 6371000     		dl = 808.671029999806m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84728240--0.84740933) × R
    0.00012692999999997 × 6371000     		dr = 808.671029999806m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32712140--0.32692966) × cos(-0.84728240) × R
    0.000191739999999996 × 0.662022385899222 × 6371000     		do = 808.710353546913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32712140--0.32692966) × cos(-0.84740933) × R
    0.000191739999999996 × 0.661927248554375 × 6371000     		du = 808.594136093507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84728240)-sin(-0.84740933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662022385899222-0.661927248554375)×R²
    abs(-0.32692966--0.32712140)×9.51373448465631e-05×R²
    0.000191739999999996×9.51373448465631e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.51373448465631e-05×40589641000000     		ar = 653933.644608485m²