Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14678 / 17021
↖ ↑ ↗
← N 78.837660°
W139.685669°		 ← 59.13 m → N 78.837660°
W139.682922°		 →
↑
59.12 m
↓
↑
59.12 m
↓
N 78.837129°
W139.685669°		 ← 59.13 m →
3 496 m²		 N 78.837129°
W139.682922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.111988067626953 y=0.129863739013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.111988067626953 × 217)
    floor (0.111988067626953 × 131072)
    floor (14678.5)     		tx = 14678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129863739013672 × 217)
    floor (0.129863739013672 × 131072)
    floor (17021.5)     		ty = 17021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14678 / 17021 ti = "17/14678/17021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14678/17021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14678 ÷ 217
    14678 ÷ 131072     		x = 0.111984252929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17021 ÷ 217
    17021 ÷ 131072     		y = 0.129859924316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.111984252929688 × 2 - 1) × π
    -0.776031494140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.43797484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129859924316406 × 2 - 1) × π
    0.740280151367188 × 3.1415926535     		Φ = 2.32565868506702
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.43797484} λ = -2.43797484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32565868506702))-π/2
    2×atan(10.2334184662404)-π/2
    2×1.47338654023468-π/2
    2.94677308046937-1.57079632675     		φ = 1.37597675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.43797484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -139.685669°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37597675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.837660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14678 KachelY 17021 -2.43797484 1.37597675 -139.685669 78.837660
    Oben rechts KachelX + 1 14679 KachelY 17021 -2.43792690 1.37597675 -139.682922 78.837660
    Unten links KachelX 14678 KachelY + 1 17022 -2.43797484 1.37596747 -139.685669 78.837129
    Unten rechts KachelX + 1 14679 KachelY + 1 17022 -2.43792690 1.37596747 -139.682922 78.837129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37597675-1.37596747) × R
    9.2800000000004e-06 × 6371000     		dl = 59.1228800000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37597675-1.37596747) × R
    9.2800000000004e-06 × 6371000     		dr = 59.1228800000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.43797484--2.43792690) × cos(1.37597675) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.193589528044687 × 6371000     		do = 59.1272248592606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.43797484--2.43792690) × cos(1.37596747) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.193598632483005 × 6371000     		du = 59.1300055890711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37597675)-sin(1.37596747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193589528044687-0.193598632483005)×R²
    abs(-2.43792690--2.43797484)×9.10443831791952e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.10443831791952e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.10443831791952e-06×40589641000000     		ar = 3495.85402250644m²