Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14678 / 10349
↖ ↑ ↗
← N 76.703810°
W 99.371338°		 ← 140.49 m → N 76.703810°
W 99.365844°		 →
↑
140.48 m
↓
↑
140.48 m
↓
N 76.702546°
W 99.371338°		 ← 140.50 m →
19 737 m²		 N 76.702546°
W 99.365844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.223976135253906 y=0.157920837402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.223976135253906 × 216)
    floor (0.223976135253906 × 65536)
    floor (14678.5)     		tx = 14678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157920837402344 × 216)
    floor (0.157920837402344 × 65536)
    floor (10349.5)     		ty = 10349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14678 / 10349 ti = "16/14678/10349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14678/10349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14678 ÷ 216
    14678 ÷ 65536     		x = 0.223968505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10349 ÷ 216
    10349 ÷ 65536     		y = 0.157913208007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.223968505859375 × 2 - 1) × π
    -0.55206298828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.73435703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157913208007812 × 2 - 1) × π
    0.684173583984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.14939470516408
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.73435703} λ = -1.73435703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14939470516408))-π/2
    2×atan(8.5796635990738)-π/2
    2×1.45476517792023-π/2
    2.90953035584045-1.57079632675     		φ = 1.33873403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.73435703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.371338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33873403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.703810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14678 KachelY 10349 -1.73435703 1.33873403 -99.371338 76.703810
    Oben rechts KachelX + 1 14679 KachelY 10349 -1.73426115 1.33873403 -99.365844 76.703810
    Unten links KachelX 14678 KachelY + 1 10350 -1.73435703 1.33871198 -99.371338 76.702546
    Unten rechts KachelX + 1 14679 KachelY + 1 10350 -1.73426115 1.33871198 -99.365844 76.702546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33873403-1.33871198) × R
    2.20499999998847e-05 × 6371000     		dl = 140.480549999265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33873403-1.33871198) × R
    2.20499999998847e-05 × 6371000     		dr = 140.480549999265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.73435703--1.73426115) × cos(1.33873403) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.229985026395763 × 6371000     		do = 140.486693751599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.73435703--1.73426115) × cos(1.33871198) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.230006485271245 × 6371000     		du = 140.499801937446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33873403)-sin(1.33871198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229985026395763-0.230006485271245)×R²
    abs(-1.73426115--1.73435703)×2.14588754816336e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.14588754816336e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.14588754816336e-05×40589641000000     		ar = 19736.5687289844m²