Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14677 / 7822
↖ ↑ ↗
← N 68.081508°
W 18.753662°		 ← 456.02 m → N 68.081508°
W 18.742676°		 →
↑
456.04 m
↓
↑
456.04 m
↓
N 68.077407°
W 18.753662°		 ← 456.10 m →
207 981 m²		 N 68.077407°
W 18.742676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14677 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447921752929688 y=0.238723754882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447921752929688 × 215)
    floor (0.447921752929688 × 32768)
    floor (14677.5)     		tx = 14677
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.238723754882812 × 215)
    floor (0.238723754882812 × 32768)
    floor (7822.5)     		ty = 7822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14677 / 7822 ti = "15/14677/7822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14677/7822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14677 ÷ 215
    14677 ÷ 32768     		x = 0.447906494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7822 ÷ 215
    7822 ÷ 32768     		y = 0.23870849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447906494140625 × 2 - 1) × π
    -0.10418701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32731315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23870849609375 × 2 - 1) × π
    0.5225830078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.64174293818768
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32731315} λ = -0.32731315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64174293818768))-π/2
    2×atan(5.16416248886613)-π/2
    2×1.3795214032695-π/2
    2.759042806539-1.57079632675     		φ = 1.18824648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32731315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.753662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18824648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.081508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14677 KachelY 7822 -0.32731315 1.18824648 -18.753662 68.081508
    Oben rechts KachelX + 1 14678 KachelY 7822 -0.32712140 1.18824648 -18.742676 68.081508
    Unten links KachelX 14677 KachelY + 1 7823 -0.32731315 1.18817490 -18.753662 68.077407
    Unten rechts KachelX + 1 14678 KachelY + 1 7823 -0.32712140 1.18817490 -18.742676 68.077407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18824648-1.18817490) × R
    7.15800000001821e-05 × 6371000     		dl = 456.03618000116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18824648-1.18817490) × R
    7.15800000001821e-05 × 6371000     		dr = 456.03618000116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32731315--0.32712140) × cos(1.18824648) × R
    0.000191749999999991 × 0.373287213581963 × 6371000     		do = 456.022311634837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32731315--0.32712140) × cos(1.18817490) × R
    0.000191749999999991 × 0.373353618524518 × 6371000     		du = 456.103434519055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18824648)-sin(1.18817490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373287213581963-0.373353618524518)×R²
    abs(-0.32712140--0.32731315)×6.64049425546098e-05×R²
    0.000191749999999991×6.64049425546098e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.64049425546098e-05×40589641000000     		ar = 207981.170567229m²