Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14676 / 8908
↖ ↑ ↗
← N 63.174194°
W 18.764649°		 ← 551.30 m → N 63.174194°
W 18.753662°		 →
↑
551.35 m
↓
↑
551.35 m
↓
N 63.169235°
W 18.764649°		 ← 551.40 m →
303 984 m²		 N 63.169235°
W 18.753662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447891235351562 y=0.271865844726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447891235351562 × 215)
    floor (0.447891235351562 × 32768)
    floor (14676.5)     		tx = 14676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271865844726562 × 215)
    floor (0.271865844726562 × 32768)
    floor (8908.5)     		ty = 8908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14676 / 8908 ti = "15/14676/8908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14676/8908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14676 ÷ 215
    14676 ÷ 32768     		x = 0.4478759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8908 ÷ 215
    8908 ÷ 32768     		y = 0.2718505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4478759765625 × 2 - 1) × π
    -0.104248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32750490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2718505859375 × 2 - 1) × π
    0.456298828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.43350504623816
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32750490} λ = -0.32750490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43350504623816))-π/2
    2×atan(4.19337142421147)-π/2
    2×1.33669700373106-π/2
    2.67339400746213-1.57079632675     		φ = 1.10259768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32750490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.764649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10259768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.174194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14676 KachelY 8908 -0.32750490 1.10259768 -18.764649 63.174194
    Oben rechts KachelX + 1 14677 KachelY 8908 -0.32731315 1.10259768 -18.753662 63.174194
    Unten links KachelX 14676 KachelY + 1 8909 -0.32750490 1.10251114 -18.764649 63.169235
    Unten rechts KachelX + 1 14677 KachelY + 1 8909 -0.32731315 1.10251114 -18.753662 63.169235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10259768-1.10251114) × R
    8.65399999998573e-05 × 6371000     		dl = 551.346339999091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10259768-1.10251114) × R
    8.65399999998573e-05 × 6371000     		dr = 551.346339999091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32750490--0.32731315) × cos(1.10259768) × R
    0.000191749999999991 × 0.451279522074995 × 6371000     		do = 551.300776888028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32750490--0.32731315) × cos(1.10251114) × R
    0.000191749999999991 × 0.451356747179523 × 6371000     		du = 551.395118106804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10259768)-sin(1.10251114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451279522074995-0.451356747179523)×R²
    abs(-0.32731315--0.32750490)×7.72251045279559e-05×R²
    0.000191749999999991×7.72251045279559e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.72251045279559e-05×40589641000000     		ar = 303983.673108431m²