Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 14675 / 10955
↖ ↑ ↗
← N 75.916189°
W 99.387817°		 ← 148.63 m → N 75.916189°
W 99.382324°		 →
↑
148.70 m
↓
↑
148.70 m
↓
N 75.914852°
W 99.387817°		 ← 148.64 m →
22 102 m²		 N 75.914852°
W 99.382324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14675 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.223930358886719 y=0.167167663574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.223930358886719 × 216)
    floor (0.223930358886719 × 65536)
    floor (14675.5)     		tx = 14675
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167167663574219 × 216)
    floor (0.167167663574219 × 65536)
    floor (10955.5)     		ty = 10955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14675 / 10955 ti = "16/14675/10955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14675/10955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14675 ÷ 216
    14675 ÷ 65536     		x = 0.223922729492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10955 ÷ 216
    10955 ÷ 65536     		y = 0.167160034179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.223922729492188 × 2 - 1) × π
    -0.552154541015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.73464465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.167160034179688 × 2 - 1) × π
    0.665679931640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.09129518282457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.73464465} λ = -1.73464465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09129518282457))-π/2
    2×atan(8.09539339170929)-π/2
    2×1.447891891246-π/2
    2.89578378249201-1.57079632675     		φ = 1.32498746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.73464465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.387817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32498746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.916189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14675 KachelY 10955 -1.73464465 1.32498746 -99.387817 75.916189
    Oben rechts KachelX + 1 14676 KachelY 10955 -1.73454878 1.32498746 -99.382324 75.916189
    Unten links KachelX 14675 KachelY + 1 10956 -1.73464465 1.32496412 -99.387817 75.914852
    Unten rechts KachelX + 1 14676 KachelY + 1 10956 -1.73454878 1.32496412 -99.382324 75.914852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32498746-1.32496412) × R
    2.33400000000383e-05 × 6371000     		dl = 148.699140000244m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32498746-1.32496412) × R
    2.33400000000383e-05 × 6371000     		dr = 148.699140000244m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.73464465--1.73454878) × cos(1.32498746) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.243340957223552 × 6371000     		do = 148.629680612235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.73464465--1.73454878) × cos(1.32496412) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.243363595575818 × 6371000     		du = 148.643507840933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32498746)-sin(1.32496412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.243340957223552-0.243363595575818)×R²
    abs(-1.73454878--1.73464465)×2.26383522664297e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.26383522664297e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.26383522664297e-05×40589641000000     		ar = 22102.1337349255m²