Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14674 / 9826
↖ ↑ ↗
← N 58.251727°
W 18.786621°		 ← 642.78 m → N 58.251727°
W 18.775635°		 →
↑
642.83 m
↓
↑
642.83 m
↓
N 58.245946°
W 18.786621°		 ← 642.88 m →
413 234 m²		 N 58.245946°
W 18.775635°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447830200195312 y=0.299880981445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447830200195312 × 215)
    floor (0.447830200195312 × 32768)
    floor (14674.5)     		tx = 14674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299880981445312 × 215)
    floor (0.299880981445312 × 32768)
    floor (9826.5)     		ty = 9826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14674 / 9826 ti = "15/14674/9826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14674/9826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14674 ÷ 215
    14674 ÷ 32768     		x = 0.44781494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9826 ÷ 215
    9826 ÷ 32768     		y = 0.29986572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44781494140625 × 2 - 1) × π
    -0.1043701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32788839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29986572265625 × 2 - 1) × π
    0.4002685546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.25748075083331
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32788839} λ = -0.32788839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25748075083331))-π/2
    2×atan(3.51655125008139)-π/2
    2×1.29374038054785-π/2
    2.5874807610957-1.57079632675     		φ = 1.01668443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32788839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.786621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01668443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.251727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14674 KachelY 9826 -0.32788839 1.01668443 -18.786621 58.251727
    Oben rechts KachelX + 1 14675 KachelY 9826 -0.32769665 1.01668443 -18.775635 58.251727
    Unten links KachelX 14674 KachelY + 1 9827 -0.32788839 1.01658353 -18.786621 58.245946
    Unten rechts KachelX + 1 14675 KachelY + 1 9827 -0.32769665 1.01658353 -18.775635 58.245946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01668443-1.01658353) × R
    0.00010090000000007 × 6371000     		dl = 642.833900000448m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01668443-1.01658353) × R
    0.00010090000000007 × 6371000     		dr = 642.833900000448m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32788839--0.32769665) × cos(1.01668443) × R
    0.000191739999999996 × 0.52618829319023 × 6371000     		do = 642.77874839552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32788839--0.32769665) × cos(1.01658353) × R
    0.000191739999999996 × 0.526274092651357 × 6371000     		du = 642.883558918578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01668443)-sin(1.01658353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.52618829319023-0.526274092651357)×R²
    abs(-0.32769665--0.32788839)×8.57994611267454e-05×R²
    0.000191739999999996×8.57994611267454e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.57994611267454e-05×40589641000000     		ar = 413233.657898017m²