Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14672 / 9848
↖ ↑ ↗
← N 58.124319°
W 18.808594°		 ← 645.12 m → N 58.124319°
W 18.797607°		 →
↑
645.13 m
↓
↑
645.13 m
↓
N 58.118518°
W 18.808594°		 ← 645.23 m →
416 219 m²		 N 58.118518°
W 18.797607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447769165039062 y=0.300552368164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447769165039062 × 215)
    floor (0.447769165039062 × 32768)
    floor (14672.5)     		tx = 14672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300552368164062 × 215)
    floor (0.300552368164062 × 32768)
    floor (9848.5)     		ty = 9848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14672 / 9848 ti = "15/14672/9848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14672/9848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14672 ÷ 215
    14672 ÷ 32768     		x = 0.44775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9848 ÷ 215
    9848 ÷ 32768     		y = 0.300537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44775390625 × 2 - 1) × π
    -0.1044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32827189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300537109375 × 2 - 1) × π
    0.39892578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.25326230366675
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32827189} λ = -0.32827189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25326230366675))-π/2
    2×atan(3.50174810950979)-π/2
    2×1.29262853968841-π/2
    2.58525707937683-1.57079632675     		φ = 1.01446075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32827189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.808594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01446075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.124319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14672 KachelY 9848 -0.32827189 1.01446075 -18.808594 58.124319
    Oben rechts KachelX + 1 14673 KachelY 9848 -0.32808014 1.01446075 -18.797607 58.124319
    Unten links KachelX 14672 KachelY + 1 9849 -0.32827189 1.01435949 -18.808594 58.118518
    Unten rechts KachelX + 1 14673 KachelY + 1 9849 -0.32808014 1.01435949 -18.797607 58.118518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01446075-1.01435949) × R
    0.000101260000000103 × 6371000     		dl = 645.127460000656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01446075-1.01435949) × R
    0.000101260000000103 × 6371000     		dr = 645.127460000656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32827189--0.32808014) × cos(1.01446075) × R
    0.000191749999999991 × 0.5280779372003 × 6371000     		do = 645.12073514289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32827189--0.32808014) × cos(1.01435949) × R
    0.000191749999999991 × 0.528163924070575 × 6371000     		du = 645.225780078602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01446075)-sin(1.01435949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5280779372003-0.528163924070575)×R²
    abs(-0.32808014--0.32827189)×8.59868702745015e-05×R²
    0.000191749999999991×8.59868702745015e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.59868702745015e-05×40589641000000     		ar = 416218.985298498m²