Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14672 / 9789
↖ ↑ ↗
← N 58.464975°
W 18.808594°		 ← 638.94 m → N 58.464975°
W 18.797607°		 →
↑
638.95 m
↓
↑
638.95 m
↓
N 58.459229°
W 18.808594°		 ← 639.05 m →
408 283 m²		 N 58.459229°
W 18.797607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447769165039062 y=0.298751831054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447769165039062 × 215)
    floor (0.447769165039062 × 32768)
    floor (14672.5)     		tx = 14672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298751831054688 × 215)
    floor (0.298751831054688 × 32768)
    floor (9789.5)     		ty = 9789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14672 / 9789 ti = "15/14672/9789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14672/9789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14672 ÷ 215
    14672 ÷ 32768     		x = 0.44775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9789 ÷ 215
    9789 ÷ 32768     		y = 0.298736572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44775390625 × 2 - 1) × π
    -0.1044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32827189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298736572265625 × 2 - 1) × π
    0.40252685546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.26457541197708
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32827189} λ = -0.32827189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26457541197708))-π/2
    2×atan(3.54158870068945)-π/2
    2×1.29560132079885-π/2
    2.5912026415977-1.57079632675     		φ = 1.02040631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32827189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.808594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02040631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.464975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14672 KachelY 9789 -0.32827189 1.02040631 -18.808594 58.464975
    Oben rechts KachelX + 1 14673 KachelY 9789 -0.32808014 1.02040631 -18.797607 58.464975
    Unten links KachelX 14672 KachelY + 1 9790 -0.32827189 1.02030602 -18.808594 58.459229
    Unten rechts KachelX + 1 14673 KachelY + 1 9790 -0.32808014 1.02030602 -18.797607 58.459229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02040631-1.02030602) × R
    0.000100290000000003 × 6371000     		dl = 638.947590000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02040631-1.02030602) × R
    0.000100290000000003 × 6371000     		dr = 638.947590000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32827189--0.32808014) × cos(1.02040631) × R
    0.000191749999999991 × 0.523019688050107 × 6371000     		do = 638.941379444735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32827189--0.32808014) × cos(1.02030602) × R
    0.000191749999999991 × 0.523105164652693 × 6371000     		du = 639.04580101741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02040631)-sin(1.02030602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.523019688050107-0.523105164652693)×R²
    abs(-0.32808014--0.32827189)×8.54766025855103e-05×R²
    0.000191749999999991×8.54766025855103e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.54766025855103e-05×40589641000000     		ar = 408283.414845245m²