Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14671 / 9850
↖ ↑ ↗
← N 58.112714°
W 18.819580°		 ← 645.33 m → N 58.112714°
W 18.808594°		 →
↑
645.32 m
↓
↑
645.32 m
↓
N 58.106911°
W 18.819580°		 ← 645.44 m →
416 478 m²		 N 58.106911°
W 18.808594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447738647460938 y=0.300613403320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447738647460938 × 215)
    floor (0.447738647460938 × 32768)
    floor (14671.5)     		tx = 14671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300613403320312 × 215)
    floor (0.300613403320312 × 32768)
    floor (9850.5)     		ty = 9850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14671 / 9850 ti = "15/14671/9850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14671/9850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14671 ÷ 215
    14671 ÷ 32768     		x = 0.447723388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9850 ÷ 215
    9850 ÷ 32768     		y = 0.30059814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447723388671875 × 2 - 1) × π
    -0.10455322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32846364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30059814453125 × 2 - 1) × π
    0.3988037109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.25287880846979
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32846364} λ = -0.32846364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25287880846979))-π/2
    2×atan(3.50040546339445)-π/2
    2×1.29252726552355-π/2
    2.5850545310471-1.57079632675     		φ = 1.01425820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32846364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.819580°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01425820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.112714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14671 KachelY 9850 -0.32846364 1.01425820 -18.819580 58.112714
    Oben rechts KachelX + 1 14672 KachelY 9850 -0.32827189 1.01425820 -18.808594 58.112714
    Unten links KachelX 14671 KachelY + 1 9851 -0.32846364 1.01415691 -18.819580 58.106911
    Unten rechts KachelX + 1 14672 KachelY + 1 9851 -0.32827189 1.01415691 -18.808594 58.106911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01425820-1.01415691) × R
    0.000101289999999921 × 6371000     		dl = 645.318589999494m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01425820-1.01415691) × R
    0.000101289999999921 × 6371000     		dr = 645.318589999494m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32846364--0.32827189) × cos(1.01425820) × R
    0.000191749999999991 × 0.528249930997942 × 6371000     		do = 645.330849516846m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32846364--0.32827189) × cos(1.01415691) × R
    0.000191749999999991 × 0.528335932505643 × 6371000     		du = 645.435912334212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01425820)-sin(1.01415691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528249930997942-0.528335932505643)×R²
    abs(-0.32827189--0.32846364)×8.60015077004395e-05×R²
    0.000191749999999991×8.60015077004395e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.60015077004395e-05×40589641000000     		ar = 416477.893743901m²