Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14671 / 9811
↖ ↑ ↗
← N 58.338334°
W 18.819580°		 ← 641.24 m → N 58.338334°
W 18.808594°		 →
↑
641.24 m
↓
↑
641.24 m
↓
N 58.332567°
W 18.819580°		 ← 641.35 m →
411 224 m²		 N 58.332567°
W 18.808594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447738647460938 y=0.299423217773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447738647460938 × 215)
    floor (0.447738647460938 × 32768)
    floor (14671.5)     		tx = 14671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299423217773438 × 215)
    floor (0.299423217773438 × 32768)
    floor (9811.5)     		ty = 9811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14671 / 9811 ti = "15/14671/9811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14671/9811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14671 ÷ 215
    14671 ÷ 32768     		x = 0.447723388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9811 ÷ 215
    9811 ÷ 32768     		y = 0.299407958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447723388671875 × 2 - 1) × π
    -0.10455322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32846364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.299407958984375 × 2 - 1) × π
    0.40118408203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.26035696481052
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32846364} λ = -0.32846364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26035696481052))-π/2
    2×atan(3.52668016341677)-π/2
    2×1.29449617066816-π/2
    2.58899234133632-1.57079632675     		φ = 1.01819601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32846364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.819580°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01819601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.338334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14671 KachelY 9811 -0.32846364 1.01819601 -18.819580 58.338334
    Oben rechts KachelX + 1 14672 KachelY 9811 -0.32827189 1.01819601 -18.808594 58.338334
    Unten links KachelX 14671 KachelY + 1 9812 -0.32846364 1.01809536 -18.819580 58.332567
    Unten rechts KachelX + 1 14672 KachelY + 1 9812 -0.32827189 1.01809536 -18.808594 58.332567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01819601-1.01809536) × R
    0.000100650000000035 × 6371000     		dl = 641.241150000226m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01819601-1.01809536) × R
    0.000100650000000035 × 6371000     		dr = 641.241150000226m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32846364--0.32827189) × cos(1.01819601) × R
    0.000191749999999991 × 0.524902293152807 × 6371000     		do = 641.241243730443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32846364--0.32827189) × cos(1.01809536) × R
    0.000191749999999991 × 0.524987959998437 × 6371000     		du = 641.345897711489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01819601)-sin(1.01809536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.524902293152807-0.524987959998437)×R²
    abs(-0.32827189--0.32846364)×8.56668456300502e-05×R²
    0.000191749999999991×8.56668456300502e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.56668456300502e-05×40589641000000     		ar = 411223.827124471m²