Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14670 / 9802
↖ ↑ ↗
← N 58.390197°
W 18.830566°		 ← 640.27 m → N 58.390197°
W 18.819580°		 →
↑
640.35 m
↓
↑
640.35 m
↓
N 58.384438°
W 18.830566°		 ← 640.37 m →
410 028 m²		 N 58.384438°
W 18.819580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14670 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447708129882812 y=0.299148559570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447708129882812 × 215)
    floor (0.447708129882812 × 32768)
    floor (14670.5)     		tx = 14670
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299148559570312 × 215)
    floor (0.299148559570312 × 32768)
    floor (9802.5)     		ty = 9802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14670 / 9802 ti = "15/14670/9802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14670/9802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14670 ÷ 215
    14670 ÷ 32768     		x = 0.44769287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9802 ÷ 215
    9802 ÷ 32768     		y = 0.29913330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44769287109375 × 2 - 1) × π
    -0.1046142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32865538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29913330078125 × 2 - 1) × π
    0.4017333984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.26208269319684
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32865538} λ = -0.32865538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26208269319684))-π/2
    2×atan(3.53277150997736)-π/2
    2×1.29494875751843-π/2
    2.58989751503686-1.57079632675     		φ = 1.01910119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32865538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.830566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01910119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.390197°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14670 KachelY 9802 -0.32865538 1.01910119 -18.830566 58.390197
    Oben rechts KachelX + 1 14671 KachelY 9802 -0.32846364 1.01910119 -18.819580 58.390197
    Unten links KachelX 14670 KachelY + 1 9803 -0.32865538 1.01900068 -18.830566 58.384438
    Unten rechts KachelX + 1 14671 KachelY + 1 9803 -0.32846364 1.01900068 -18.819580 58.384438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01910119-1.01900068) × R
    0.000100509999999998 × 6371000     		dl = 640.349209999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01910119-1.01900068) × R
    0.000100509999999998 × 6371000     		dr = 640.349209999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32865538--0.32846364) × cos(1.01910119) × R
    0.000191739999999996 × 0.524131622956695 × 6371000     		do = 640.266370344387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32865538--0.32846364) × cos(1.01900068) × R
    0.000191739999999996 × 0.524217218371229 × 6371000     		du = 640.370931609119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01910119)-sin(1.01900068))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.524131622956695-0.524217218371229)×R²
    abs(-0.32846364--0.32865538)×8.55954145342341e-05×R²
    0.000191739999999996×8.55954145342341e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.55954145342341e-05×40589641000000     		ar = 410027.54264688m²