Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14670 / 8906
↖ ↑ ↗
← N 63.184107°
W 18.830566°		 ← 551.08 m → N 63.184107°
W 18.819580°		 →
↑
551.09 m
↓
↑
551.09 m
↓
N 63.179151°
W 18.830566°		 ← 551.18 m →
303 723 m²		 N 63.179151°
W 18.819580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14670 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447708129882812 y=0.271804809570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447708129882812 × 215)
    floor (0.447708129882812 × 32768)
    floor (14670.5)     		tx = 14670
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271804809570312 × 215)
    floor (0.271804809570312 × 32768)
    floor (8906.5)     		ty = 8906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14670 / 8906 ti = "15/14670/8906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14670/8906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14670 ÷ 215
    14670 ÷ 32768     		x = 0.44769287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8906 ÷ 215
    8906 ÷ 32768     		y = 0.27178955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44769287109375 × 2 - 1) × π
    -0.1046142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32865538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27178955078125 × 2 - 1) × π
    0.4564208984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.43388854143512
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32865538} λ = -0.32865538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43388854143512))-π/2
    2×atan(4.19497987040771)-π/2
    2×1.33678352069017-π/2
    2.67356704138033-1.57079632675     		φ = 1.10277071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32865538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.830566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10277071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.184107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14670 KachelY 8906 -0.32865538 1.10277071 -18.830566 63.184107
    Oben rechts KachelX + 1 14671 KachelY 8906 -0.32846364 1.10277071 -18.819580 63.184107
    Unten links KachelX 14670 KachelY + 1 8907 -0.32865538 1.10268421 -18.830566 63.179151
    Unten rechts KachelX + 1 14671 KachelY + 1 8907 -0.32846364 1.10268421 -18.819580 63.179151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10277071-1.10268421) × R
    8.64999999998783e-05 × 6371000     		dl = 551.091499999225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10277071-1.10268421) × R
    8.64999999998783e-05 × 6371000     		dr = 551.091499999225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32865538--0.32846364) × cos(1.10277071) × R
    0.000191739999999996 × 0.451125106350424 × 6371000     		do = 551.083395397565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32865538--0.32846364) × cos(1.10268421) × R
    0.000191739999999996 × 0.451202302514974 × 6371000     		du = 551.17769634396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10277071)-sin(1.10268421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451125106350424-0.451202302514974)×R²
    abs(-0.32846364--0.32865538)×7.71961645494867e-05×R²
    0.000191739999999996×7.71961645494867e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.71961645494867e-05×40589641000000     		ar = 303723.359408314m²