Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14670 / 7505
↖ ↑ ↗
← N 69.345464°
W 18.830566°		 ← 430.89 m → N 69.345464°
W 18.819580°		 →
↑
430.93 m
↓
↑
430.93 m
↓
N 69.341588°
W 18.830566°		 ← 430.97 m →
185 702 m²		 N 69.341588°
W 18.819580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14670 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447708129882812 y=0.229049682617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447708129882812 × 215)
    floor (0.447708129882812 × 32768)
    floor (14670.5)     		tx = 14670
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229049682617188 × 215)
    floor (0.229049682617188 × 32768)
    floor (7505.5)     		ty = 7505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14670 / 7505 ti = "15/14670/7505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14670/7505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14670 ÷ 215
    14670 ÷ 32768     		x = 0.44769287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7505 ÷ 215
    7505 ÷ 32768     		y = 0.229034423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44769287109375 × 2 - 1) × π
    -0.1046142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32865538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229034423828125 × 2 - 1) × π
    0.54193115234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.70252692690591
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32865538} λ = -0.32865538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70252692690591))-π/2
    2×atan(5.48779714796411)-π/2
    2×1.39055149529333-π/2
    2.78110299058665-1.57079632675     		φ = 1.21030666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32865538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.830566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21030666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.345464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14670 KachelY 7505 -0.32865538 1.21030666 -18.830566 69.345464
    Oben rechts KachelX + 1 14671 KachelY 7505 -0.32846364 1.21030666 -18.819580 69.345464
    Unten links KachelX 14670 KachelY + 1 7506 -0.32865538 1.21023902 -18.830566 69.341588
    Unten rechts KachelX + 1 14671 KachelY + 1 7506 -0.32846364 1.21023902 -18.819580 69.341588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21030666-1.21023902) × R
    6.76400000001465e-05 × 6371000     		dl = 430.934440000933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21030666-1.21023902) × R
    6.76400000001465e-05 × 6371000     		dr = 430.934440000933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32865538--0.32846364) × cos(1.21030666) × R
    0.000191739999999996 × 0.352732468621756 × 6371000     		do = 430.889355832145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32865538--0.32846364) × cos(1.21023902) × R
    0.000191739999999996 × 0.35279576020067 × 6371000     		du = 430.966671276835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21030666)-sin(1.21023902))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352732468621756-0.35279576020067)×R²
    abs(-0.32846364--0.32865538)×6.32915789144373e-05×R²
    0.000191739999999996×6.32915789144373e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.32915789144373e-05×40589641000000     		ar = 185701.722272094m²