Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1467 / 579
↖ ↑ ↗
← N 82.291228°
W115.532227°		 ← 655.46 m → N 82.291228°
W115.488282°		 →
↑
655.70 m
↓
↑
655.70 m
↓
N 82.285331°
W115.532227°		 ← 655.96 m →
429 953 m²		 N 82.285331°
W115.488282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1467 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.17913818359375 y=0.07073974609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.17913818359375 × 213)
    floor (0.17913818359375 × 8192)
    floor (1467.5)     		tx = 1467
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.07073974609375 × 213)
    floor (0.07073974609375 × 8192)
    floor (579.5)     		ty = 579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1467 / 579 ti = "13/1467/579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1467/579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1467 ÷ 213
    1467 ÷ 8192     		x = 0.1790771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 579 ÷ 213
    579 ÷ 8192     		y = 0.0706787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1790771484375 × 2 - 1) × π
    -0.641845703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.01641775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0706787109375 × 2 - 1) × π
    0.858642578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.6975052154198
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.01641775} λ = -2.01641775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.6975052154198))-π/2
    2×atan(14.8426562664787)-π/2
    2×1.50352460454422-π/2
    3.00704920908843-1.57079632675     		φ = 1.43625288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.01641775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.532227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43625288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.291228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1467 KachelY 579 -2.01641775 1.43625288 -115.532227 82.291228
    Oben rechts KachelX + 1 1468 KachelY 579 -2.01565076 1.43625288 -115.488282 82.291228
    Unten links KachelX 1467 KachelY + 1 580 -2.01641775 1.43614996 -115.532227 82.285331
    Unten rechts KachelX + 1 1468 KachelY + 1 580 -2.01565076 1.43614996 -115.488282 82.285331
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43625288-1.43614996) × R
    0.000102920000000006 × 6371000     		dl = 655.70332000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43625288-1.43614996) × R
    0.000102920000000006 × 6371000     		dr = 655.70332000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.01641775--2.01565076) × cos(1.43625288) × R
    0.000766989999999801 × 0.134137897817304 × 6371000     		do = 655.463937618793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.01641775--2.01565076) × cos(1.43614996) × R
    0.000766989999999801 × 0.134239886985264 × 6371000     		du = 655.962307003681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43625288)-sin(1.43614996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134137897817304-0.134239886985264)×R²
    abs(-2.01565076--2.01641775)×0.00010198916795981×R²
    0.000766989999999801×0.00010198916795981×6371000²
    0.000766989999999801×0.00010198916795981×40589641000000     		ar = 429953.27164482m²