Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14669 / 8905
↖ ↑ ↗
← N 63.189064°
W 18.841553°		 ← 551.02 m → N 63.189064°
W 18.830566°		 →
↑
551.09 m
↓
↑
551.09 m
↓
N 63.184107°
W 18.841553°		 ← 551.11 m →
303 687 m²		 N 63.184107°
W 18.830566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447677612304688 y=0.271774291992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447677612304688 × 215)
    floor (0.447677612304688 × 32768)
    floor (14669.5)     		tx = 14669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271774291992188 × 215)
    floor (0.271774291992188 × 32768)
    floor (8905.5)     		ty = 8905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14669 / 8905 ti = "15/14669/8905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14669/8905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14669 ÷ 215
    14669 ÷ 32768     		x = 0.447662353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8905 ÷ 215
    8905 ÷ 32768     		y = 0.271759033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447662353515625 × 2 - 1) × π
    -0.10467529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32884713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271759033203125 × 2 - 1) × π
    0.45648193359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.4340802890336
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32884713} λ = -0.32884713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4340802890336))-π/2
    2×atan(4.19578432484717)-π/2
    2×1.33682676806709-π/2
    2.67365353613418-1.57079632675     		φ = 1.10285721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32884713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.841553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10285721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.189064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14669 KachelY 8905 -0.32884713 1.10285721 -18.841553 63.189064
    Oben rechts KachelX + 1 14670 KachelY 8905 -0.32865538 1.10285721 -18.830566 63.189064
    Unten links KachelX 14669 KachelY + 1 8906 -0.32884713 1.10277071 -18.841553 63.184107
    Unten rechts KachelX + 1 14670 KachelY + 1 8906 -0.32865538 1.10277071 -18.830566 63.184107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10285721-1.10277071) × R
    8.65000000001004e-05 × 6371000     		dl = 551.09150000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10285721-1.10277071) × R
    8.65000000001004e-05 × 6371000     		dr = 551.09150000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32884713--0.32865538) × cos(1.10285721) × R
    0.000191749999999991 × 0.451047906810444 × 6371000     		do = 551.017826589953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32884713--0.32865538) × cos(1.10277071) × R
    0.000191749999999991 × 0.451125106350424 × 6371000     		du = 551.112136578075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10285721)-sin(1.10277071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451047906810444-0.451125106350424)×R²
    abs(-0.32865538--0.32884713)×7.71995399805325e-05×R²
    0.000191749999999991×7.71995399805325e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.71995399805325e-05×40589641000000     		ar = 303687.227488778m²