Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14669 / 7475
↖ ↑ ↗
← N 69.461408°
W 18.841553°		 ← 428.60 m → N 69.461408°
W 18.830566°		 →
↑
428.64 m
↓
↑
428.64 m
↓
N 69.457554°
W 18.841553°		 ← 428.67 m →
183 731 m²		 N 69.457554°
W 18.830566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447677612304688 y=0.228134155273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447677612304688 × 215)
    floor (0.447677612304688 × 32768)
    floor (14669.5)     		tx = 14669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228134155273438 × 215)
    floor (0.228134155273438 × 32768)
    floor (7475.5)     		ty = 7475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14669 / 7475 ti = "15/14669/7475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14669/7475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14669 ÷ 215
    14669 ÷ 32768     		x = 0.447662353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7475 ÷ 215
    7475 ÷ 32768     		y = 0.228118896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447662353515625 × 2 - 1) × π
    -0.10467529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32884713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228118896484375 × 2 - 1) × π
    0.54376220703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.70827935486032
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32884713} λ = -0.32884713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70827935486032))-π/2
    2×atan(5.51945627681395)-π/2
    2×1.3915633030814-π/2
    2.7831266061628-1.57079632675     		φ = 1.21233028
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32884713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.841553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21233028 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.461408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14669 KachelY 7475 -0.32884713 1.21233028 -18.841553 69.461408
    Oben rechts KachelX + 1 14670 KachelY 7475 -0.32865538 1.21233028 -18.830566 69.461408
    Unten links KachelX 14669 KachelY + 1 7476 -0.32884713 1.21226300 -18.841553 69.457554
    Unten rechts KachelX + 1 14670 KachelY + 1 7476 -0.32865538 1.21226300 -18.830566 69.457554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21233028-1.21226300) × R
    6.72799999998919e-05 × 6371000     		dl = 428.640879999311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21233028-1.21226300) × R
    6.72799999998919e-05 × 6371000     		dr = 428.640879999311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32884713--0.32865538) × cos(1.21233028) × R
    0.000191749999999991 × 0.350838197453025 × 6371000     		do = 428.597712407844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32884713--0.32865538) × cos(1.21226300) × R
    0.000191749999999991 × 0.350901200079368 × 6371000     		du = 428.674678889038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21233028)-sin(1.21226300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350838197453025-0.350901200079368)×R²
    abs(-0.32865538--0.32884713)×6.30026263430672e-05×R²
    0.000191749999999991×6.30026263430672e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.30026263430672e-05×40589641000000     		ar = 183730.996171781m²