Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14667 / 9800
↖ ↑ ↗
← N 58.401712°
W 18.863526°		 ← 640.09 m → N 58.401712°
W 18.852539°		 →
↑
640.16 m
↓
↑
640.16 m
↓
N 58.395955°
W 18.863526°		 ← 640.20 m →
409 793 m²		 N 58.395955°
W 18.852539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447616577148438 y=0.299087524414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447616577148438 × 215)
    floor (0.447616577148438 × 32768)
    floor (14667.5)     		tx = 14667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299087524414062 × 215)
    floor (0.299087524414062 × 32768)
    floor (9800.5)     		ty = 9800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14667 / 9800 ti = "15/14667/9800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14667/9800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14667 ÷ 215
    14667 ÷ 32768     		x = 0.447601318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9800 ÷ 215
    9800 ÷ 32768     		y = 0.299072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447601318359375 × 2 - 1) × π
    -0.10479736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32923063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.299072265625 × 2 - 1) × π
    0.40185546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.2624661883938
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32923063} λ = -0.32923063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2624661883938))-π/2
    2×atan(3.53412657069642)-π/2
    2×1.29504924208807-π/2
    2.59009848417614-1.57079632675     		φ = 1.01930216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32923063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.863526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01930216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.401712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14667 KachelY 9800 -0.32923063 1.01930216 -18.863526 58.401712
    Oben rechts KachelX + 1 14668 KachelY 9800 -0.32903888 1.01930216 -18.852539 58.401712
    Unten links KachelX 14667 KachelY + 1 9801 -0.32923063 1.01920168 -18.863526 58.395955
    Unten rechts KachelX + 1 14668 KachelY + 1 9801 -0.32903888 1.01920168 -18.852539 58.395955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01930216-1.01920168) × R
    0.000100479999999958 × 6371000     		dl = 640.158079999735m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01930216-1.01920168) × R
    0.000100479999999958 × 6371000     		dr = 640.158079999735m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32923063--0.32903888) × cos(1.01930216) × R
    0.000191750000000046 × 0.52396045883088 × 6371000     		do = 640.090661955965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32923063--0.32903888) × cos(1.01920168) × R
    0.000191750000000046 × 0.524046039281046 × 6371000     		du = 640.195210392921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01930216)-sin(1.01920168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.52396045883088-0.524046039281046)×R²
    abs(-0.32903888--0.32923063)×8.55804501661561e-05×R²
    0.000191750000000046×8.55804501661561e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.55804501661561e-05×40589641000000     		ar = 409792.673291271m²