Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14666 / 7484
↖ ↑ ↗
← N 69.426691°
W 18.874511°		 ← 429.27 m → N 69.426691°
W 18.863526°		 →
↑
429.34 m
↓
↑
429.34 m
↓
N 69.422829°
W 18.874511°		 ← 429.35 m →
184 319 m²		 N 69.422829°
W 18.863526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447586059570312 y=0.228408813476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447586059570312 × 215)
    floor (0.447586059570312 × 32768)
    floor (14666.5)     		tx = 14666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228408813476562 × 215)
    floor (0.228408813476562 × 32768)
    floor (7484.5)     		ty = 7484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14666 / 7484 ti = "15/14666/7484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14666/7484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14666 ÷ 215
    14666 ÷ 32768     		x = 0.44757080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7484 ÷ 215
    7484 ÷ 32768     		y = 0.2283935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44757080078125 × 2 - 1) × π
    -0.1048583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32942237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2283935546875 × 2 - 1) × π
    0.543212890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.706553626474
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32942237} λ = -0.32942237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.706553626474))-π/2
    2×atan(5.50993940856671)-π/2
    2×1.39126033264185-π/2
    2.7825206652837-1.57079632675     		φ = 1.21172434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32942237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.874511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21172434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.426691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14666 KachelY 7484 -0.32942237 1.21172434 -18.874511 69.426691
    Oben rechts KachelX + 1 14667 KachelY 7484 -0.32923063 1.21172434 -18.863526 69.426691
    Unten links KachelX 14666 KachelY + 1 7485 -0.32942237 1.21165695 -18.874511 69.422829
    Unten rechts KachelX + 1 14667 KachelY + 1 7485 -0.32923063 1.21165695 -18.863526 69.422829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21172434-1.21165695) × R
    6.73899999998895e-05 × 6371000     		dl = 429.341689999296m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21172434-1.21165695) × R
    6.73899999998895e-05 × 6371000     		dr = 429.341689999296m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32942237--0.32923063) × cos(1.21172434) × R
    0.000191739999999996 × 0.351405557097993 × 6371000     		do = 429.268433170973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32942237--0.32923063) × cos(1.21165695) × R
    0.000191739999999996 × 0.351468648390604 × 6371000     		du = 429.345503950813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21172434)-sin(1.21165695))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351405557097993-0.351468648390604)×R²
    abs(-0.32923063--0.32942237)×6.30912926109506e-05×R²
    0.000191739999999996×6.30912926109506e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.30912926109506e-05×40589641000000     		ar = 184319.379479864m²