Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14665 / 7479
↖ ↑ ↗
← N 69.445985°
W 18.885498°		 ← 428.91 m → N 69.445985°
W 18.874511°		 →
↑
428.90 m
↓
↑
428.90 m
↓
N 69.442128°
W 18.885498°		 ← 428.98 m →
183 972 m²		 N 69.442128°
W 18.874511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447555541992188 y=0.228256225585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447555541992188 × 215)
    floor (0.447555541992188 × 32768)
    floor (14665.5)     		tx = 14665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228256225585938 × 215)
    floor (0.228256225585938 × 32768)
    floor (7479.5)     		ty = 7479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14665 / 7479 ti = "15/14665/7479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14665/7479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14665 ÷ 215
    14665 ÷ 32768     		x = 0.447540283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7479 ÷ 215
    7479 ÷ 32768     		y = 0.228240966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447540283203125 × 2 - 1) × π
    -0.10491943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32961412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228240966796875 × 2 - 1) × π
    0.54351806640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.7075123644664
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32961412} λ = -0.32961412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7075123644664))-π/2
    2×atan(5.51522452993203)-π/2
    2×1.39142870999005-π/2
    2.7828574199801-1.57079632675     		φ = 1.21206109
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32961412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.885498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21206109 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.445985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14665 KachelY 7479 -0.32961412 1.21206109 -18.885498 69.445985
    Oben rechts KachelX + 1 14666 KachelY 7479 -0.32942237 1.21206109 -18.874511 69.445985
    Unten links KachelX 14665 KachelY + 1 7480 -0.32961412 1.21199377 -18.885498 69.442128
    Unten rechts KachelX + 1 14666 KachelY + 1 7480 -0.32942237 1.21199377 -18.874511 69.442128
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21206109-1.21199377) × R
    6.73199999998708e-05 × 6371000     		dl = 428.895719999177m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21206109-1.21199377) × R
    6.73199999998708e-05 × 6371000     		dr = 428.895719999177m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32961412--0.32942237) × cos(1.21206109) × R
    0.000191749999999991 × 0.351090263970838 × 6371000     		do = 428.905646759615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32961412--0.32942237) × cos(1.21199377) × R
    0.000191749999999991 × 0.35115329769298 × 6371000     		du = 428.982651228658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21206109)-sin(1.21199377))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351090263970838-0.35115329769298)×R²
    abs(-0.32942237--0.32961412)×6.30337221426136e-05×R²
    0.000191749999999991×6.30337221426136e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.30337221426136e-05×40589641000000     		ar = 183972.309691738m²