Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14665 / 11206
↖ ↑ ↗
← N 49.339441°
W 18.885498°		 ← 795.99 m → N 49.339441°
W 18.874511°		 →
↑
796.06 m
↓
↑
796.06 m
↓
N 49.332282°
W 18.885498°		 ← 796.11 m →
633 700 m²		 N 49.332282°
W 18.874511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447555541992188 y=0.341995239257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447555541992188 × 215)
    floor (0.447555541992188 × 32768)
    floor (14665.5)     		tx = 14665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341995239257812 × 215)
    floor (0.341995239257812 × 32768)
    floor (11206.5)     		ty = 11206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14665 / 11206 ti = "15/14665/11206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14665/11206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14665 ÷ 215
    14665 ÷ 32768     		x = 0.447540283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11206 ÷ 215
    11206 ÷ 32768     		y = 0.34197998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447540283203125 × 2 - 1) × π
    -0.10491943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32961412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34197998046875 × 2 - 1) × π
    0.3160400390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.992869064930603
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32961412} λ = -0.32961412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.992869064930603))-π/2
    2×atan(2.69896688588803)-π/2
    2×1.21596601111152-π/2
    2.43193202222305-1.57079632675     		φ = 0.86113570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32961412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.885498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86113570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.339441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14665 KachelY 11206 -0.32961412 0.86113570 -18.885498 49.339441
    Oben rechts KachelX + 1 14666 KachelY 11206 -0.32942237 0.86113570 -18.874511 49.339441
    Unten links KachelX 14665 KachelY + 1 11207 -0.32961412 0.86101075 -18.885498 49.332282
    Unten rechts KachelX + 1 14666 KachelY + 1 11207 -0.32942237 0.86101075 -18.874511 49.332282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86113570-0.86101075) × R
    0.000124949999999902 × 6371000     		dl = 796.056449999373m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86113570-0.86101075) × R
    0.000124949999999902 × 6371000     		dr = 796.056449999373m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32961412--0.32942237) × cos(0.86113570) × R
    0.000191749999999991 × 0.651576365788787 × 6371000     		do = 795.9912628199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32961412--0.32942237) × cos(0.86101075) × R
    0.000191749999999991 × 0.651671145653923 × 6371000     		du = 796.10704962326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86113570)-sin(0.86101075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651576365788787-0.651671145653923)×R²
    abs(-0.32942237--0.32961412)×9.47798651359522e-05×R²
    0.000191749999999991×9.47798651359522e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.47798651359522e-05×40589641000000     		ar = 633700.066150927m²