Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14664 / 7478
↖ ↑ ↗
← N 69.449842°
W 18.896484°		 ← 428.83 m → N 69.449842°
W 18.885498°		 →
↑
428.90 m
↓
↑
428.90 m
↓
N 69.445985°
W 18.896484°		 ← 428.91 m →
183 939 m²		 N 69.445985°
W 18.885498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447525024414062 y=0.228225708007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447525024414062 × 215)
    floor (0.447525024414062 × 32768)
    floor (14664.5)     		tx = 14664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228225708007812 × 215)
    floor (0.228225708007812 × 32768)
    floor (7478.5)     		ty = 7478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14664 / 7478 ti = "15/14664/7478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14664/7478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14664 ÷ 215
    14664 ÷ 32768     		x = 0.447509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7478 ÷ 215
    7478 ÷ 32768     		y = 0.22821044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447509765625 × 2 - 1) × π
    -0.10498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32980587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22821044921875 × 2 - 1) × π
    0.5435791015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.70770411206488
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32980587} λ = -0.32980587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70770411206488))-π/2
    2×atan(5.51628216238672)-π/2
    2×1.39146236732569-π/2
    2.78292473465138-1.57079632675     		φ = 1.21212841
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32980587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.896484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21212841 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.449842°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14664 KachelY 7478 -0.32980587 1.21212841 -18.896484 69.449842
    Oben rechts KachelX + 1 14665 KachelY 7478 -0.32961412 1.21212841 -18.885498 69.449842
    Unten links KachelX 14664 KachelY + 1 7479 -0.32980587 1.21206109 -18.896484 69.445985
    Unten rechts KachelX + 1 14665 KachelY + 1 7479 -0.32961412 1.21206109 -18.885498 69.445985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21212841-1.21206109) × R
    6.73200000000929e-05 × 6371000     		dl = 428.895720000592m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21212841-1.21206109) × R
    6.73200000000929e-05 × 6371000     		dr = 428.895720000592m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32980587--0.32961412) × cos(1.21212841) × R
    0.000191749999999991 × 0.35102722865756 × 6371000     		do = 428.828640346779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32980587--0.32961412) × cos(1.21206109) × R
    0.000191749999999991 × 0.351090263970838 × 6371000     		du = 428.905646759615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21212841)-sin(1.21206109))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35102722865756-0.351090263970838)×R²
    abs(-0.32961412--0.32980587)×6.30353132776706e-05×R²
    0.000191749999999991×6.30353132776706e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.30353132776706e-05×40589641000000     		ar = 183939.282388143m²