Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14661 / 9404
↖ ↑ ↗
← N 60.608542°
W 18.929443°		 ← 599.55 m → N 60.608542°
W 18.918457°		 →
↑
599.57 m
↓
↑
599.57 m
↓
N 60.603150°
W 18.929443°		 ← 599.65 m →
359 504 m²		 N 60.603150°
W 18.918457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14661 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447433471679688 y=0.287002563476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447433471679688 × 215)
    floor (0.447433471679688 × 32768)
    floor (14661.5)     		tx = 14661
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.287002563476562 × 215)
    floor (0.287002563476562 × 32768)
    floor (9404.5)     		ty = 9404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14661 / 9404 ti = "15/14661/9404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14661/9404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14661 ÷ 215
    14661 ÷ 32768     		x = 0.447418212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9404 ÷ 215
    9404 ÷ 32768     		y = 0.2869873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447418212890625 × 2 - 1) × π
    -0.10516357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33038111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2869873046875 × 2 - 1) × π
    0.426025390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.33839823739197
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33038111} λ = -0.33038111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33839823739197))-π/2
    2×atan(3.81293120081826)-π/2
    2×1.31430746766562-π/2
    2.62861493533123-1.57079632675     		φ = 1.05781861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33038111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.929443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05781861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.608542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14661 KachelY 9404 -0.33038111 1.05781861 -18.929443 60.608542
    Oben rechts KachelX + 1 14662 KachelY 9404 -0.33018936 1.05781861 -18.918457 60.608542
    Unten links KachelX 14661 KachelY + 1 9405 -0.33038111 1.05772450 -18.929443 60.603150
    Unten rechts KachelX + 1 14662 KachelY + 1 9405 -0.33018936 1.05772450 -18.918457 60.603150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05781861-1.05772450) × R
    9.41100000000361e-05 × 6371000     		dl = 599.57481000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05781861-1.05772450) × R
    9.41100000000361e-05 × 6371000     		dr = 599.57481000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33038111--0.33018936) × cos(1.05781861) × R
    0.000191749999999991 × 0.490773864737744 × 6371000     		do = 599.54861603779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33038111--0.33018936) × cos(1.05772450) × R
    0.000191749999999991 × 0.490855859382652 × 6371000     		du = 599.648783914299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05781861)-sin(1.05772450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.490773864737744-0.490855859382652)×R²
    abs(-0.33018936--0.33038111)×8.1994644907657e-05×R²
    0.000191749999999991×8.1994644907657e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.1994644907657e-05×40589641000000     		ar = 359504.276879289m²