Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1466 / 714
↖ ↑ ↗
← N 81.453209°
W115.576172°		 ← 726.22 m → N 81.453209°
W115.532227°		 →
↑
726.49 m
↓
↑
726.49 m
↓
N 81.446675°
W115.576172°		 ← 726.77 m →
527 785 m²		 N 81.446675°
W115.532227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 714 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.17901611328125 y=0.08721923828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.17901611328125 × 213)
    floor (0.17901611328125 × 8192)
    floor (1466.5)     		tx = 1466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.08721923828125 × 213)
    floor (0.08721923828125 × 8192)
    floor (714.5)     		ty = 714
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1466 / 714 ti = "13/1466/714"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1466/714.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1466 ÷ 213
    1466 ÷ 8192     		x = 0.178955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 714 ÷ 213
    714 ÷ 8192     		y = 0.087158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.178955078125 × 2 - 1) × π
    -0.64208984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.01718474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.087158203125 × 2 - 1) × π
    0.82568359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.59396151224048
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.01718474} λ = -2.01718474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59396151224048))-π/2
    2×atan(13.3826823907342)-π/2
    2×1.49621150260633-π/2
    2.99242300521266-1.57079632675     		φ = 1.42162668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.01718474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.576172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42162668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.453209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1466 KachelY 714 -2.01718474 1.42162668 -115.576172 81.453209
    Oben rechts KachelX + 1 1467 KachelY 714 -2.01641775 1.42162668 -115.532227 81.453209
    Unten links KachelX 1466 KachelY + 1 715 -2.01718474 1.42151265 -115.576172 81.446675
    Unten rechts KachelX + 1 1467 KachelY + 1 715 -2.01641775 1.42151265 -115.532227 81.446675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42162668-1.42151265) × R
    0.000114029999999987 × 6371000     		dl = 726.485129999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42162668-1.42151265) × R
    0.000114029999999987 × 6371000     		dr = 726.485129999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.01718474--2.01641775) × cos(1.42162668) × R
    0.000766989999999801 × 0.148617051816489 × 6371000     		do = 726.216226480669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.01718474--2.01641775) × cos(1.42151265) × R
    0.000766989999999801 × 0.148729814526745 × 6371000     		du = 726.767240707693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42162668)-sin(1.42151265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148617051816489-0.148729814526745)×R²
    abs(-2.01641775--2.01718474)×0.000112762710255315×R²
    0.000766989999999801×0.000112762710255315×6371000²
    0.000766989999999801×0.000112762710255315×40589641000000     		ar = 527785.442094749m²