Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14658 / 20535
↖ ↑ ↗
← S 41.434490°
W 18.962402°		 ← 915.83 m → S 41.434490°
W 18.951416°		 →
↑
915.83 m
↓
↑
915.83 m
↓
S 41.442727°
W 18.962402°		 ← 915.71 m →
838 693 m²		 S 41.442727°
W 18.951416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447341918945312 y=0.626693725585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447341918945312 × 215)
    floor (0.447341918945312 × 32768)
    floor (14658.5)     		tx = 14658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626693725585938 × 215)
    floor (0.626693725585938 × 32768)
    floor (20535.5)     		ty = 20535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14658 / 20535 ti = "15/14658/20535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14658/20535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14658 ÷ 215
    14658 ÷ 32768     		x = 0.44732666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20535 ÷ 215
    20535 ÷ 32768     		y = 0.626678466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44732666015625 × 2 - 1) × π
    -0.1053466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33095635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626678466796875 × 2 - 1) × π
    -0.25335693359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.795944281291412
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33095635} λ = -0.33095635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.795944281291412))-π/2
    2×atan(0.451155016477624)-π/2
    2×0.423814023517553-π/2
    0.847628047035106-1.57079632675     		φ = -0.72316828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33095635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.962402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72316828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.434490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14658 KachelY 20535 -0.33095635 -0.72316828 -18.962402 -41.434490
    Oben rechts KachelX + 1 14659 KachelY 20535 -0.33076461 -0.72316828 -18.951416 -41.434490
    Unten links KachelX 14658 KachelY + 1 20536 -0.33095635 -0.72331203 -18.962402 -41.442727
    Unten rechts KachelX + 1 14659 KachelY + 1 20536 -0.33076461 -0.72331203 -18.951416 -41.442727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72316828--0.72331203) × R
    0.000143749999999998 × 6371000     		dl = 915.831249999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72316828--0.72331203) × R
    0.000143749999999998 × 6371000     		dr = 915.831249999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33095635--0.33076461) × cos(-0.72316828) × R
    0.000191739999999996 × 0.749712844058363 × 6371000     		do = 915.83087232551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33095635--0.33076461) × cos(-0.72331203) × R
    0.000191739999999996 × 0.749617707839755 × 6371000     		du = 915.714656247891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72316828)-sin(-0.72331203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.749712844058363-0.749617707839755)×R²
    abs(-0.33076461--0.33095635)×9.51362186079052e-05×R²
    0.000191739999999996×9.51362186079052e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.51362186079052e-05×40589641000000     		ar = 838693.316877053m²