Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14657 / 9546
↖ ↑ ↗
← N 59.833775°
W 18.973389°		 ← 613.89 m → N 59.833775°
W 18.962402°		 →
↑
613.91 m
↓
↑
613.91 m
↓
N 59.828254°
W 18.973389°		 ← 613.99 m →
376 902 m²		 N 59.828254°
W 18.962402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447311401367188 y=0.291336059570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447311401367188 × 215)
    floor (0.447311401367188 × 32768)
    floor (14657.5)     		tx = 14657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291336059570312 × 215)
    floor (0.291336059570312 × 32768)
    floor (9546.5)     		ty = 9546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14657 / 9546 ti = "15/14657/9546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14657/9546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14657 ÷ 215
    14657 ÷ 32768     		x = 0.447296142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9546 ÷ 215
    9546 ÷ 32768     		y = 0.29132080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447296142578125 × 2 - 1) × π
    -0.10540771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33114810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29132080078125 × 2 - 1) × π
    0.4173583984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.31117007840778
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33114810} λ = -0.33114810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31117007840778))-π/2
    2×atan(3.71051276406672)-π/2
    2×1.30754635397616-π/2
    2.61509270795231-1.57079632675     		φ = 1.04429638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33114810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.973389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04429638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.833775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14657 KachelY 9546 -0.33114810 1.04429638 -18.973389 59.833775
    Oben rechts KachelX + 1 14658 KachelY 9546 -0.33095635 1.04429638 -18.962402 59.833775
    Unten links KachelX 14657 KachelY + 1 9547 -0.33114810 1.04420002 -18.973389 59.828254
    Unten rechts KachelX + 1 14658 KachelY + 1 9547 -0.33095635 1.04420002 -18.962402 59.828254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04429638-1.04420002) × R
    9.63600000001286e-05 × 6371000     		dl = 613.909560000819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04429638-1.04420002) × R
    9.63600000001286e-05 × 6371000     		dr = 613.909560000819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33114810--0.33095635) × cos(1.04429638) × R
    0.000191749999999991 × 0.502510380235365 × 6371000     		do = 613.886404027916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33114810--0.33095635) × cos(1.04420002) × R
    0.000191749999999991 × 0.502593687980754 × 6371000     		du = 613.988176039512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04429638)-sin(1.04420002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.502510380235365-0.502593687980754)×R²
    abs(-0.33095635--0.33114810)×8.33077453891162e-05×R²
    0.000191749999999991×8.33077453891162e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.33077453891162e-05×40589641000000     		ar = 376901.971884363m²