Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14657 / 9407
↖ ↑ ↗
← N 60.592362°
W 18.973389°		 ← 599.85 m → N 60.592362°
W 18.962402°		 →
↑
599.89 m
↓
↑
599.89 m
↓
N 60.586967°
W 18.973389°		 ← 599.95 m →
359 876 m²		 N 60.586967°
W 18.962402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447311401367188 y=0.287094116210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447311401367188 × 215)
    floor (0.447311401367188 × 32768)
    floor (14657.5)     		tx = 14657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.287094116210938 × 215)
    floor (0.287094116210938 × 32768)
    floor (9407.5)     		ty = 9407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14657 / 9407 ti = "15/14657/9407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14657/9407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14657 ÷ 215
    14657 ÷ 32768     		x = 0.447296142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9407 ÷ 215
    9407 ÷ 32768     		y = 0.287078857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447296142578125 × 2 - 1) × π
    -0.10540771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33114810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.287078857421875 × 2 - 1) × π
    0.42584228515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.33782299459653
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33114810} λ = -0.33114810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33782299459653))-π/2
    2×atan(3.81073847035215)-π/2
    2×1.3141662752222-π/2
    2.62833255044441-1.57079632675     		φ = 1.05753622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33114810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.973389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05753622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.592362°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14657 KachelY 9407 -0.33114810 1.05753622 -18.973389 60.592362
    Oben rechts KachelX + 1 14658 KachelY 9407 -0.33095635 1.05753622 -18.962402 60.592362
    Unten links KachelX 14657 KachelY + 1 9408 -0.33114810 1.05744206 -18.973389 60.586967
    Unten rechts KachelX + 1 14658 KachelY + 1 9408 -0.33095635 1.05744206 -18.962402 60.586967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05753622-1.05744206) × R
    9.41599999999543e-05 × 6371000     		dl = 599.893359999709m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05753622-1.05744206) × R
    9.41599999999543e-05 × 6371000     		dr = 599.893359999709m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33114810--0.33095635) × cos(1.05753622) × R
    0.000191749999999991 × 0.491019887898566 × 6371000     		do = 599.849167587459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33114810--0.33095635) × cos(1.05744206) × R
    0.000191749999999991 × 0.491101913051552 × 6371000     		du = 599.949372733833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05753622)-sin(1.05744206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.491019887898566-0.491101913051552)×R²
    abs(-0.33095635--0.33114810)×8.20251529856098e-05×R²
    0.000191749999999991×8.20251529856098e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.20251529856098e-05×40589641000000     		ar = 359875.589104637m²