Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14656 / 7745
↖ ↑ ↗
← N 68.395135°
W 18.984375°		 ← 449.81 m → N 68.395135°
W 18.973389°		 →
↑
449.86 m
↓
↑
449.86 m
↓
N 68.391089°
W 18.984375°		 ← 449.89 m →
202 369 m²		 N 68.391089°
W 18.973389°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447280883789062 y=0.236373901367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447280883789062 × 215)
    floor (0.447280883789062 × 32768)
    floor (14656.5)     		tx = 14656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.236373901367188 × 215)
    floor (0.236373901367188 × 32768)
    floor (7745.5)     		ty = 7745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14656 / 7745 ti = "15/14656/7745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14656/7745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14656 ÷ 215
    14656 ÷ 32768     		x = 0.447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7745 ÷ 215
    7745 ÷ 32768     		y = 0.236358642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447265625 × 2 - 1) × π
    -0.10546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33133985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.236358642578125 × 2 - 1) × π
    0.52728271484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.65650750327066
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33133985} λ = -0.33133985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65650750327066))-π/2
    2×atan(5.24097475652555)-π/2
    2×1.38225831417845-π/2
    2.7645166283569-1.57079632675     		φ = 1.19372030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33133985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.984375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19372030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.395135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14656 KachelY 7745 -0.33133985 1.19372030 -18.984375 68.395135
    Oben rechts KachelX + 1 14657 KachelY 7745 -0.33114810 1.19372030 -18.973389 68.395135
    Unten links KachelX 14656 KachelY + 1 7746 -0.33133985 1.19364969 -18.984375 68.391089
    Unten rechts KachelX + 1 14657 KachelY + 1 7746 -0.33114810 1.19364969 -18.973389 68.391089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19372030-1.19364969) × R
    7.0610000000082e-05 × 6371000     		dl = 449.856310000522m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19372030-1.19364969) × R
    7.0610000000082e-05 × 6371000     		dr = 449.856310000522m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33133985--0.33114810) × cos(1.19372030) × R
    0.000191749999999991 × 0.368203497158014 × 6371000     		do = 449.811844115471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33133985--0.33114810) × cos(1.19364969) × R
    0.000191749999999991 × 0.368269145550456 × 6371000     		du = 449.892042768378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19372030)-sin(1.19364969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368203497158014-0.368269145550456)×R²
    abs(-0.33114810--0.33133985)×6.5648392441664e-05×R²
    0.000191749999999991×6.5648392441664e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.5648392441664e-05×40589641000000     		ar = 202368.735407202m²