Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14653 / 21554
↖ ↑ ↗
← S 49.282140°
W 19.017334°		 ← 796.88 m → S 49.282140°
W 19.006348°		 →
↑
796.82 m
↓
↑
796.82 m
↓
S 49.289306°
W 19.017334°		 ← 796.76 m →
634 921 m²		 S 49.289306°
W 19.006348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447189331054688 y=0.657791137695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447189331054688 × 215)
    floor (0.447189331054688 × 32768)
    floor (14653.5)     		tx = 14653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657791137695312 × 215)
    floor (0.657791137695312 × 32768)
    floor (21554.5)     		ty = 21554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14653 / 21554 ti = "15/14653/21554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14653/21554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14653 ÷ 215
    14653 ÷ 32768     		x = 0.447174072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21554 ÷ 215
    21554 ÷ 32768     		y = 0.65777587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447174072265625 × 2 - 1) × π
    -0.10565185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33191509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65777587890625 × 2 - 1) × π
    -0.3155517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.991335084142761
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33191509} λ = -0.33191509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.991335084142761))-π/2
    2×atan(0.371080935885092)-π/2
    2×0.355330359298122-π/2
    0.710660718596245-1.57079632675     		φ = -0.86013561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33191509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.017334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86013561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.282140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14653 KachelY 21554 -0.33191509 -0.86013561 -19.017334 -49.282140
    Oben rechts KachelX + 1 14654 KachelY 21554 -0.33172335 -0.86013561 -19.006348 -49.282140
    Unten links KachelX 14653 KachelY + 1 21555 -0.33191509 -0.86026068 -19.017334 -49.289306
    Unten rechts KachelX + 1 14654 KachelY + 1 21555 -0.33172335 -0.86026068 -19.006348 -49.289306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86013561--0.86026068) × R
    0.000125069999999949 × 6371000     		dl = 796.820969999678m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86013561--0.86026068) × R
    0.000125069999999949 × 6371000     		dr = 796.820969999678m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33191509--0.33172335) × cos(-0.86013561) × R
    0.000191740000000051 × 0.652334691135227 × 6371000     		do = 796.876102584461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33191509--0.33172335) × cos(-0.86026068) × R
    0.000191740000000051 × 0.652239891599106 × 6371000     		du = 796.760297789932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86013561)-sin(-0.86026068))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652334691135227-0.652239891599106)×R²
    abs(-0.33172335--0.33191509)×9.47995361209042e-05×R²
    0.000191740000000051×9.47995361209042e-05×6371000²
    0.000191740000000051×9.47995361209042e-05×40589641000000     		ar = 634921.452014361m²