Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14653 / 21443
↖ ↑ ↗
← S 48.480204°
W 19.017334°		 ← 809.76 m → S 48.480204°
W 19.006348°		 →
↑
809.75 m
↓
↑
809.75 m
↓
S 48.487487°
W 19.017334°		 ← 809.64 m →
655 657 m²		 S 48.487487°
W 19.006348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447189331054688 y=0.654403686523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447189331054688 × 215)
    floor (0.447189331054688 × 32768)
    floor (14653.5)     		tx = 14653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654403686523438 × 215)
    floor (0.654403686523438 × 32768)
    floor (21443.5)     		ty = 21443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14653 / 21443 ti = "15/14653/21443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14653/21443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14653 ÷ 215
    14653 ÷ 32768     		x = 0.447174072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21443 ÷ 215
    21443 ÷ 32768     		y = 0.654388427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447174072265625 × 2 - 1) × π
    -0.10565185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33191509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654388427734375 × 2 - 1) × π
    -0.30877685546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.970051100711456
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33191509} λ = -0.33191509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.970051100711456))-π/2
    2×atan(0.379063667185389)-π/2
    2×0.362328569005835-π/2
    0.72465713801167-1.57079632675     		φ = -0.84613919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33191509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.017334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84613919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.480204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14653 KachelY 21443 -0.33191509 -0.84613919 -19.017334 -48.480204
    Oben rechts KachelX + 1 14654 KachelY 21443 -0.33172335 -0.84613919 -19.006348 -48.480204
    Unten links KachelX 14653 KachelY + 1 21444 -0.33191509 -0.84626629 -19.017334 -48.487487
    Unten rechts KachelX + 1 14654 KachelY + 1 21444 -0.33172335 -0.84626629 -19.006348 -48.487487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84613919--0.84626629) × R
    0.000127099999999936 × 6371000     		dl = 809.75409999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84613919--0.84626629) × R
    0.000127099999999936 × 6371000     		dr = 809.75409999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33191509--0.33172335) × cos(-0.84613919) × R
    0.000191740000000051 × 0.662878770780042 × 6371000     		do = 809.756492370383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33191509--0.33172335) × cos(-0.84626629) × R
    0.000191740000000051 × 0.662783602257093 × 6371000     		du = 809.64023683057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84613919)-sin(-0.84626629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662878770780042-0.662783602257093)×R²
    abs(-0.33172335--0.33191509)×9.51685229498844e-05×R²
    0.000191740000000051×9.51685229498844e-05×6371000²
    0.000191740000000051×9.51685229498844e-05×40589641000000     		ar = 655656.571380705m²