Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14651 / 7331
↖ ↑ ↗
← N 70.009323°
W 19.039307°		 ← 417.64 m → N 70.009323°
W 19.028320°		 →
↑
417.68 m
↓
↑
417.68 m
↓
N 70.005566°
W 19.039307°		 ← 417.71 m →
174 456 m²		 N 70.005566°
W 19.028320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14651 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447128295898438 y=0.223739624023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447128295898438 × 215)
    floor (0.447128295898438 × 32768)
    floor (14651.5)     		tx = 14651
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223739624023438 × 215)
    floor (0.223739624023438 × 32768)
    floor (7331.5)     		ty = 7331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14651 / 7331 ti = "15/14651/7331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14651/7331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14651 ÷ 215
    14651 ÷ 32768     		x = 0.447113037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7331 ÷ 215
    7331 ÷ 32768     		y = 0.223724365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447113037109375 × 2 - 1) × π
    -0.10577392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33229859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223724365234375 × 2 - 1) × π
    0.55255126953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.73589100904147
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33229859} λ = -0.33229859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73589100904147))-π/2
    2×atan(5.67398112067482)-π/2
    2×1.39634475792681-π/2
    2.79268951585362-1.57079632675     		φ = 1.22189319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33229859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.039307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22189319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.009323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14651 KachelY 7331 -0.33229859 1.22189319 -19.039307 70.009323
    Oben rechts KachelX + 1 14652 KachelY 7331 -0.33210684 1.22189319 -19.028320 70.009323
    Unten links KachelX 14651 KachelY + 1 7332 -0.33229859 1.22182763 -19.039307 70.005566
    Unten rechts KachelX + 1 14652 KachelY + 1 7332 -0.33210684 1.22182763 -19.028320 70.005566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22189319-1.22182763) × R
    6.55600000001311e-05 × 6371000     		dl = 417.682760000835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22189319-1.22182763) × R
    6.55600000001311e-05 × 6371000     		dr = 417.682760000835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33229859--0.33210684) × cos(1.22189319) × R
    0.000191749999999991 × 0.341867238025778 × 6371000     		do = 417.638436261362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33229859--0.33210684) × cos(1.22182763) × R
    0.000191749999999991 × 0.341928847186946 × 6371000     		du = 417.713700430805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22189319)-sin(1.22182763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341867238025778-0.341928847186946)×R²
    abs(-0.33210684--0.33229859)×6.16091611682634e-05×R²
    0.000191749999999991×6.16091611682634e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.16091611682634e-05×40589641000000     		ar = 174456.093075433m²