Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14651 / 21439
↖ ↑ ↗
← S 48.451066°
W 19.039307°		 ← 810.26 m → S 48.451066°
W 19.028320°		 →
↑
810.20 m
↓
↑
810.20 m
↓
S 48.458352°
W 19.039307°		 ← 810.15 m →
656 429 m²		 S 48.458352°
W 19.028320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14651 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447128295898438 y=0.654281616210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447128295898438 × 215)
    floor (0.447128295898438 × 32768)
    floor (14651.5)     		tx = 14651
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654281616210938 × 215)
    floor (0.654281616210938 × 32768)
    floor (21439.5)     		ty = 21439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14651 / 21439 ti = "15/14651/21439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14651/21439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14651 ÷ 215
    14651 ÷ 32768     		x = 0.447113037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21439 ÷ 215
    21439 ÷ 32768     		y = 0.654266357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447113037109375 × 2 - 1) × π
    -0.10577392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33229859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654266357421875 × 2 - 1) × π
    -0.30853271484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.969284110317535
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33229859} λ = -0.33229859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.969284110317535))-π/2
    2×atan(0.379354516902015)-π/2
    2×0.362582852826305-π/2
    0.72516570565261-1.57079632675     		φ = -0.84563062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33229859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.039307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84563062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.451066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14651 KachelY 21439 -0.33229859 -0.84563062 -19.039307 -48.451066
    Oben rechts KachelX + 1 14652 KachelY 21439 -0.33210684 -0.84563062 -19.028320 -48.451066
    Unten links KachelX 14651 KachelY + 1 21440 -0.33229859 -0.84575779 -19.039307 -48.458352
    Unten rechts KachelX + 1 14652 KachelY + 1 21440 -0.33210684 -0.84575779 -19.028320 -48.458352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84563062--0.84575779) × R
    0.000127169999999954 × 6371000     		dl = 810.200069999709m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84563062--0.84575779) × R
    0.000127169999999954 × 6371000     		dr = 810.200069999709m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33229859--0.33210684) × cos(-0.84563062) × R
    0.000191749999999991 × 0.663259464998546 × 6371000     		do = 810.263795376184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33229859--0.33210684) × cos(-0.84575779) × R
    0.000191749999999991 × 0.663164286939641 × 6371000     		du = 810.147522123688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84563062)-sin(-0.84575779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663259464998546-0.663164286939641)×R²
    abs(-0.33210684--0.33229859)×9.5178058904577e-05×R²
    0.000191749999999991×9.5178058904577e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.5178058904577e-05×40589641000000     		ar = 656428.682318429m²