Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14651 / 20559
↖ ↑ ↗
← S 41.631867°
W 19.039307°		 ← 913.09 m → S 41.631867°
W 19.028320°		 →
↑
913.03 m
↓
↑
913.03 m
↓
S 41.640078°
W 19.039307°		 ← 912.97 m →
833 622 m²		 S 41.640078°
W 19.028320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14651 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447128295898438 y=0.627426147460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447128295898438 × 215)
    floor (0.447128295898438 × 32768)
    floor (14651.5)     		tx = 14651
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627426147460938 × 215)
    floor (0.627426147460938 × 32768)
    floor (20559.5)     		ty = 20559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14651 / 20559 ti = "15/14651/20559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14651/20559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14651 ÷ 215
    14651 ÷ 32768     		x = 0.447113037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20559 ÷ 215
    20559 ÷ 32768     		y = 0.627410888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447113037109375 × 2 - 1) × π
    -0.10577392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33229859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627410888671875 × 2 - 1) × π
    -0.25482177734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.800546223654938
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33229859} λ = -0.33229859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.800546223654938))-π/2
    2×atan(0.449083597026927)-π/2
    2×0.422091583370801-π/2
    0.844183166741601-1.57079632675     		φ = -0.72661316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33229859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.039307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72661316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.631867°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14651 KachelY 20559 -0.33229859 -0.72661316 -19.039307 -41.631867
    Oben rechts KachelX + 1 14652 KachelY 20559 -0.33210684 -0.72661316 -19.028320 -41.631867
    Unten links KachelX 14651 KachelY + 1 20560 -0.33229859 -0.72675647 -19.039307 -41.640078
    Unten rechts KachelX + 1 14652 KachelY + 1 20560 -0.33210684 -0.72675647 -19.028320 -41.640078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72661316--0.72675647) × R
    0.000143310000000008 × 6371000     		dl = 913.028010000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72661316--0.72675647) × R
    0.000143310000000008 × 6371000     		dr = 913.028010000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33229859--0.33210684) × cos(-0.72661316) × R
    0.000191749999999991 × 0.747428704955174 × 6371000     		do = 913.088242549865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33229859--0.33210684) × cos(-0.72675647) × R
    0.000191749999999991 × 0.747333490424122 × 6371000     		du = 912.971924741561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72661316)-sin(-0.72675647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747428704955174-0.747333490424122)×R²
    abs(-0.33210684--0.33229859)×9.52145310517682e-05×R²
    0.000191749999999991×9.52145310517682e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.52145310517682e-05×40589641000000     		ar = 833622.041768378m²