Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14650 / 9544
↖ ↑ ↗
← N 59.844815°
W 19.050293°		 ← 613.68 m → N 59.844815°
W 19.039307°		 →
↑
613.72 m
↓
↑
613.72 m
↓
N 59.839296°
W 19.050293°		 ← 613.78 m →
376 660 m²		 N 59.839296°
W 19.039307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447097778320312 y=0.291275024414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447097778320312 × 215)
    floor (0.447097778320312 × 32768)
    floor (14650.5)     		tx = 14650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291275024414062 × 215)
    floor (0.291275024414062 × 32768)
    floor (9544.5)     		ty = 9544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14650 / 9544 ti = "15/14650/9544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14650/9544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14650 ÷ 215
    14650 ÷ 32768     		x = 0.44708251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9544 ÷ 215
    9544 ÷ 32768     		y = 0.291259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44708251953125 × 2 - 1) × π
    -0.1058349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33249034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291259765625 × 2 - 1) × π
    0.41748046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.31155357360474
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33249034} λ = -0.33249034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31155357360474))-π/2
    2×atan(3.71193600077478)-π/2
    2×1.30764269316205-π/2
    2.6152853863241-1.57079632675     		φ = 1.04448906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33249034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.050293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04448906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.844815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14650 KachelY 9544 -0.33249034 1.04448906 -19.050293 59.844815
    Oben rechts KachelX + 1 14651 KachelY 9544 -0.33229859 1.04448906 -19.039307 59.844815
    Unten links KachelX 14650 KachelY + 1 9545 -0.33249034 1.04439273 -19.050293 59.839296
    Unten rechts KachelX + 1 14651 KachelY + 1 9545 -0.33229859 1.04439273 -19.039307 59.839296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04448906-1.04439273) × R
    9.63300000000888e-05 × 6371000     		dl = 613.718430000566m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04448906-1.04439273) × R
    9.63300000000888e-05 × 6371000     		dr = 613.718430000566m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33249034--0.33229859) × cos(1.04448906) × R
    0.000191749999999991 × 0.502343785334277 × 6371000     		do = 613.682885157897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33249034--0.33229859) × cos(1.04439273) × R
    0.000191749999999991 × 0.502427076470238 × 6371000     		du = 613.784636878763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04448906)-sin(1.04439273))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.502343785334277-0.502427076470238)×R²
    abs(-0.33229859--0.33249034)×8.32911359602839e-05×R²
    0.000191749999999991×8.32911359602839e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.32911359602839e-05×40589641000000     		ar = 376659.720541968m²