Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14649 / 9621
↖ ↑ ↗
← N 59.417139°
W 19.061279°		 ← 621.52 m → N 59.417139°
W 19.050293°		 →
↑
621.62 m
↓
↑
621.62 m
↓
N 59.411548°
W 19.061279°		 ← 621.62 m →
386 379 m²		 N 59.411548°
W 19.050293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447067260742188 y=0.293624877929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447067260742188 × 215)
    floor (0.447067260742188 × 32768)
    floor (14649.5)     		tx = 14649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293624877929688 × 215)
    floor (0.293624877929688 × 32768)
    floor (9621.5)     		ty = 9621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14649 / 9621 ti = "15/14649/9621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14649/9621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14649 ÷ 215
    14649 ÷ 32768     		x = 0.447052001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9621 ÷ 215
    9621 ÷ 32768     		y = 0.293609619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447052001953125 × 2 - 1) × π
    -0.10589599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33268208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293609619140625 × 2 - 1) × π
    0.41278076171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.29678900852176
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33268208} λ = -0.33268208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29678900852176))-π/2
    2×atan(3.65753348313794)-π/2
    2×1.30391051106808-π/2
    2.60782102213616-1.57079632675     		φ = 1.03702470
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33268208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.061279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03702470 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.417139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14649 KachelY 9621 -0.33268208 1.03702470 -19.061279 59.417139
    Oben rechts KachelX + 1 14650 KachelY 9621 -0.33249034 1.03702470 -19.050293 59.417139
    Unten links KachelX 14649 KachelY + 1 9622 -0.33268208 1.03692713 -19.061279 59.411548
    Unten rechts KachelX + 1 14650 KachelY + 1 9622 -0.33249034 1.03692713 -19.050293 59.411548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03702470-1.03692713) × R
    9.75699999998803e-05 × 6371000     		dl = 621.618469999237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03702470-1.03692713) × R
    9.75699999998803e-05 × 6371000     		dr = 621.618469999237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33268208--0.33249034) × cos(1.03702470) × R
    0.000191739999999996 × 0.508783924111344 × 6371000     		do = 621.51799683962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33268208--0.33249034) × cos(1.03692713) × R
    0.000191739999999996 × 0.508867919141899 × 6371000     		du = 621.620603114428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03702470)-sin(1.03692713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508783924111344-0.508867919141899)×R²
    abs(-0.33249034--0.33268208)×8.39950305552284e-05×R²
    0.000191739999999996×8.39950305552284e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.39950305552284e-05×40589641000000     		ar = 386378.957556567m²