Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14649 / 8893
↖ ↑ ↗
← N 63.248467°
W 19.061279°		 ← 549.86 m → N 63.248467°
W 19.050293°		 →
↑
549.88 m
↓
↑
549.88 m
↓
N 63.243521°
W 19.061279°		 ← 549.95 m →
302 383 m²		 N 63.243521°
W 19.050293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447067260742188 y=0.271408081054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447067260742188 × 215)
    floor (0.447067260742188 × 32768)
    floor (14649.5)     		tx = 14649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271408081054688 × 215)
    floor (0.271408081054688 × 32768)
    floor (8893.5)     		ty = 8893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14649 / 8893 ti = "15/14649/8893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14649/8893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14649 ÷ 215
    14649 ÷ 32768     		x = 0.447052001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8893 ÷ 215
    8893 ÷ 32768     		y = 0.271392822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447052001953125 × 2 - 1) × π
    -0.10589599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33268208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271392822265625 × 2 - 1) × π
    0.45721435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.43638126021536
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33268208} λ = -0.33268208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43638126021536))-π/2
    2×atan(4.20544981941129)-π/2
    2×1.33734515962151-π/2
    2.67469031924302-1.57079632675     		φ = 1.10389399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33268208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.061279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10389399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.248467°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14649 KachelY 8893 -0.33268208 1.10389399 -19.061279 63.248467
    Oben rechts KachelX + 1 14650 KachelY 8893 -0.33249034 1.10389399 -19.050293 63.248467
    Unten links KachelX 14649 KachelY + 1 8894 -0.33268208 1.10380768 -19.061279 63.243521
    Unten rechts KachelX + 1 14650 KachelY + 1 8894 -0.33249034 1.10380768 -19.050293 63.243521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10389399-1.10380768) × R
    8.63099999999228e-05 × 6371000     		dl = 549.881009999508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10389399-1.10380768) × R
    8.63099999999228e-05 × 6371000     		dr = 549.881009999508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33268208--0.33249034) × cos(1.10389399) × R
    0.000191739999999996 × 0.450122338677305 × 6371000     		do = 549.85843893578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33268208--0.33249034) × cos(1.10380768) × R
    0.000191739999999996 × 0.450199408973568 × 6371000     		du = 549.952586124555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10389399)-sin(1.10380768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450122338677305-0.450199408973568)×R²
    abs(-0.33249034--0.33268208)×7.70702962625269e-05×R²
    0.000191739999999996×7.70702962625269e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.70702962625269e-05×40589641000000     		ar = 302382.598822009m²