Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14648 / 8904
↖ ↑ ↗
← N 63.194018°
W 19.072266°		 ← 550.92 m → N 63.194018°
W 19.061279°		 →
↑
550.96 m
↓
↑
550.96 m
↓
N 63.189064°
W 19.072266°		 ← 551.02 m →
303 565 m²		 N 63.189064°
W 19.061279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447036743164062 y=0.271743774414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447036743164062 × 215)
    floor (0.447036743164062 × 32768)
    floor (14648.5)     		tx = 14648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271743774414062 × 215)
    floor (0.271743774414062 × 32768)
    floor (8904.5)     		ty = 8904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14648 / 8904 ti = "15/14648/8904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14648/8904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14648 ÷ 215
    14648 ÷ 32768     		x = 0.447021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8904 ÷ 215
    8904 ÷ 32768     		y = 0.271728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447021484375 × 2 - 1) × π
    -0.10595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33287383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271728515625 × 2 - 1) × π
    0.45654296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.43427203663208
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33287383} λ = -0.33287383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43427203663208))-π/2
    2×atan(4.19658893355363)-π/2
    2×1.33687000804352-π/2
    2.67374001608705-1.57079632675     		φ = 1.10294369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33287383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.072266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10294369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.194018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14648 KachelY 8904 -0.33287383 1.10294369 -19.072266 63.194018
    Oben rechts KachelX + 1 14649 KachelY 8904 -0.33268208 1.10294369 -19.061279 63.194018
    Unten links KachelX 14648 KachelY + 1 8905 -0.33287383 1.10285721 -19.072266 63.189064
    Unten rechts KachelX + 1 14649 KachelY + 1 8905 -0.33268208 1.10285721 -19.061279 63.189064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10294369-1.10285721) × R
    8.64799999999999e-05 × 6371000     		dl = 550.964079999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10294369-1.10285721) × R
    8.64799999999999e-05 × 6371000     		dr = 550.964079999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33287383--0.33268208) × cos(1.10294369) × R
    0.000191749999999991 × 0.450970721746385 × 6371000     		do = 550.923534286185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33287383--0.33268208) × cos(1.10285721) × R
    0.000191749999999991 × 0.451047906810444 × 6371000     		du = 551.017826589953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10294369)-sin(1.10285721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450970721746385-0.451047906810444)×R²
    abs(-0.33268208--0.33287383)×7.71850640586824e-05×R²
    0.000191749999999991×7.71850640586824e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.71850640586824e-05×40589641000000     		ar = 303565.054243584m²