Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14648 / 21571
↖ ↑ ↗
← S 49.403824°
W 19.072266°		 ← 794.95 m → S 49.403824°
W 19.061279°		 →
↑
794.91 m
↓
↑
794.91 m
↓
S 49.410973°
W 19.072266°		 ← 794.83 m →
631 867 m²		 S 49.410973°
W 19.061279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447036743164062 y=0.658309936523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447036743164062 × 215)
    floor (0.447036743164062 × 32768)
    floor (14648.5)     		tx = 14648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658309936523438 × 215)
    floor (0.658309936523438 × 32768)
    floor (21571.5)     		ty = 21571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14648 / 21571 ti = "15/14648/21571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14648/21571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14648 ÷ 215
    14648 ÷ 32768     		x = 0.447021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21571 ÷ 215
    21571 ÷ 32768     		y = 0.658294677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447021484375 × 2 - 1) × π
    -0.10595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33287383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658294677734375 × 2 - 1) × π
    -0.31658935546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.994594793316925
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33287383} λ = -0.33287383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.994594793316925))-π/2
    2×atan(0.369873289311678)-π/2
    2×0.354268461727669-π/2
    0.708536923455338-1.57079632675     		φ = -0.86225940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33287383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.072266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86225940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.403824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14648 KachelY 21571 -0.33287383 -0.86225940 -19.072266 -49.403824
    Oben rechts KachelX + 1 14649 KachelY 21571 -0.33268208 -0.86225940 -19.061279 -49.403824
    Unten links KachelX 14648 KachelY + 1 21572 -0.33287383 -0.86238417 -19.072266 -49.410973
    Unten rechts KachelX + 1 14649 KachelY + 1 21572 -0.33268208 -0.86238417 -19.061279 -49.410973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86225940--0.86238417) × R
    0.000124769999999996 × 6371000     		dl = 794.909669999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86225940--0.86238417) × R
    0.000124769999999996 × 6371000     		dr = 794.909669999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33287383--0.33268208) × cos(-0.86225940) × R
    0.000191749999999991 × 0.65072353482476 × 6371000     		do = 794.949411040629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33287383--0.33268208) × cos(-0.86238417) × R
    0.000191749999999991 × 0.650628790059247 × 6371000     		du = 794.833667116347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86225940)-sin(-0.86238417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65072353482476-0.650628790059247)×R²
    abs(-0.33268208--0.33287383)×9.47447655127442e-05×R²
    0.000191749999999991×9.47447655127442e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.47447655127442e-05×40589641000000     		ar = 631866.971834076m²