Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14647 / 9623
↖ ↑ ↗
← N 59.405957°
W 19.083252°		 ← 621.76 m → N 59.405957°
W 19.072266°		 →
↑
621.81 m
↓
↑
621.81 m
↓
N 59.400365°
W 19.083252°		 ← 621.86 m →
386 646 m²		 N 59.400365°
W 19.072266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447006225585938 y=0.293685913085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447006225585938 × 215)
    floor (0.447006225585938 × 32768)
    floor (14647.5)     		tx = 14647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293685913085938 × 215)
    floor (0.293685913085938 × 32768)
    floor (9623.5)     		ty = 9623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14647 / 9623 ti = "15/14647/9623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14647/9623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14647 ÷ 215
    14647 ÷ 32768     		x = 0.446990966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9623 ÷ 215
    9623 ÷ 32768     		y = 0.293670654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446990966796875 × 2 - 1) × π
    -0.10601806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33306558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293670654296875 × 2 - 1) × π
    0.41265869140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.2964055133248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33306558} λ = -0.33306558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2964055133248))-π/2
    2×atan(3.65613110553416)-π/2
    2×1.30381293686622-π/2
    2.60762587373243-1.57079632675     		φ = 1.03682955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33306558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.083252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03682955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.405957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14647 KachelY 9623 -0.33306558 1.03682955 -19.083252 59.405957
    Oben rechts KachelX + 1 14648 KachelY 9623 -0.33287383 1.03682955 -19.072266 59.405957
    Unten links KachelX 14647 KachelY + 1 9624 -0.33306558 1.03673195 -19.083252 59.400365
    Unten rechts KachelX + 1 14648 KachelY + 1 9624 -0.33287383 1.03673195 -19.072266 59.400365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03682955-1.03673195) × R
    9.759999999992e-05 × 6371000     		dl = 621.80959999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03682955-1.03673195) × R
    9.759999999992e-05 × 6371000     		dr = 621.80959999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33306558--0.33287383) × cos(1.03682955) × R
    0.000191750000000046 × 0.50895191793603 × 6371000     		do = 621.755639313582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33306558--0.33287383) × cos(1.03673195) × R
    0.000191750000000046 × 0.509035929098899 × 6371000     		du = 621.858270647581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03682955)-sin(1.03673195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.50895191793603-0.509035929098899)×R²
    abs(-0.33287383--0.33306558)×8.40111628690465e-05×R²
    0.000191750000000046×8.40111628690465e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.40111628690465e-05×40589641000000     		ar = 386645.534260584m²