Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14644 / 9788
↖ ↑ ↗
← N 58.470721°
W 19.116211°		 ← 638.84 m → N 58.470721°
W 19.105224°		 →
↑
638.88 m
↓
↑
638.88 m
↓
N 58.464975°
W 19.116211°		 ← 638.94 m →
408 176 m²		 N 58.464975°
W 19.105224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446914672851562 y=0.298721313476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446914672851562 × 215)
    floor (0.446914672851562 × 32768)
    floor (14644.5)     		tx = 14644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298721313476562 × 215)
    floor (0.298721313476562 × 32768)
    floor (9788.5)     		ty = 9788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14644 / 9788 ti = "15/14644/9788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14644/9788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14644 ÷ 215
    14644 ÷ 32768     		x = 0.4468994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9788 ÷ 215
    9788 ÷ 32768     		y = 0.2987060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4468994140625 × 2 - 1) × π
    -0.106201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33364082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2987060546875 × 2 - 1) × π
    0.402587890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.26476715957556
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33364082} λ = -0.33364082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26476715957556))-π/2
    2×atan(3.54226785692882)-π/2
    2×1.29565146058565-π/2
    2.59130292117129-1.57079632675     		φ = 1.02050659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33364082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.116211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02050659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.470721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14644 KachelY 9788 -0.33364082 1.02050659 -19.116211 58.470721
    Oben rechts KachelX + 1 14645 KachelY 9788 -0.33344907 1.02050659 -19.105224 58.470721
    Unten links KachelX 14644 KachelY + 1 9789 -0.33364082 1.02040631 -19.116211 58.464975
    Unten rechts KachelX + 1 14645 KachelY + 1 9789 -0.33344907 1.02040631 -19.105224 58.464975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02050659-1.02040631) × R
    0.000100280000000064 × 6371000     		dl = 638.883880000405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02050659-1.02040631) × R
    0.000100280000000064 × 6371000     		dr = 638.883880000405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33364082--0.33344907) × cos(1.02050659) × R
    0.000191749999999991 × 0.522934214710676 × 6371000     		do = 638.836961858458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33364082--0.33344907) × cos(1.02040631) × R
    0.000191749999999991 × 0.523019688050107 × 6371000     		du = 638.941379444735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02050659)-sin(1.02040631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.522934214710676-0.523019688050107)×R²
    abs(-0.33344907--0.33364082)×8.54733394310969e-05×R²
    0.000191749999999991×8.54733394310969e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.54733394310969e-05×40589641000000     		ar = 408175.992578142m²