Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14644 / 7323
↖ ↑ ↗
← N 70.039348°
W 19.116211°		 ← 417.04 m → N 70.039348°
W 19.105224°		 →
↑
417.05 m
↓
↑
417.05 m
↓
N 70.035598°
W 19.116211°		 ← 417.11 m →
173 939 m²		 N 70.035598°
W 19.105224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446914672851562 y=0.223495483398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446914672851562 × 215)
    floor (0.446914672851562 × 32768)
    floor (14644.5)     		tx = 14644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223495483398438 × 215)
    floor (0.223495483398438 × 32768)
    floor (7323.5)     		ty = 7323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14644 / 7323 ti = "15/14644/7323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14644/7323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14644 ÷ 215
    14644 ÷ 32768     		x = 0.4468994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7323 ÷ 215
    7323 ÷ 32768     		y = 0.223480224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4468994140625 × 2 - 1) × π
    -0.106201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33364082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223480224609375 × 2 - 1) × π
    0.55303955078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.73742498982932
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33364082} λ = -0.33364082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73742498982932))-π/2
    2×atan(5.68269157783344)-π/2
    2×1.39660677789947-π/2
    2.79321355579894-1.57079632675     		φ = 1.22241723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33364082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.116211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22241723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.039348°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14644 KachelY 7323 -0.33364082 1.22241723 -19.116211 70.039348
    Oben rechts KachelX + 1 14645 KachelY 7323 -0.33344907 1.22241723 -19.105224 70.039348
    Unten links KachelX 14644 KachelY + 1 7324 -0.33364082 1.22235177 -19.116211 70.035598
    Unten rechts KachelX + 1 14645 KachelY + 1 7324 -0.33344907 1.22235177 -19.105224 70.035598
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22241723-1.22235177) × R
    6.54600000000727e-05 × 6371000     		dl = 417.045660000463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22241723-1.22235177) × R
    6.54600000000727e-05 × 6371000     		dr = 417.045660000463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33364082--0.33344907) × cos(1.22241723) × R
    0.000191749999999991 × 0.341374725428883 × 6371000     		do = 417.036763541876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33364082--0.33344907) × cos(1.22235177) × R
    0.000191749999999991 × 0.34143625233737 × 6371000     		du = 417.111927228215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22241723)-sin(1.22235177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341374725428883-0.34143625233737)×R²
    abs(-0.33344907--0.33364082)×6.15269084869308e-05×R²
    0.000191749999999991×6.15269084869308e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.15269084869308e-05×40589641000000     		ar = 173939.045702361m²