Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14642 / 8901
↖ ↑ ↗
← N 63.208878°
W 19.138184°		 ← 550.64 m → N 63.208878°
W 19.127197°		 →
↑
550.71 m
↓
↑
550.71 m
↓
N 63.203925°
W 19.138184°		 ← 550.73 m →
303 269 m²		 N 63.203925°
W 19.127197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446853637695312 y=0.271652221679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446853637695312 × 215)
    floor (0.446853637695312 × 32768)
    floor (14642.5)     		tx = 14642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271652221679688 × 215)
    floor (0.271652221679688 × 32768)
    floor (8901.5)     		ty = 8901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14642 / 8901 ti = "15/14642/8901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14642/8901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14642 ÷ 215
    14642 ÷ 32768     		x = 0.44683837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8901 ÷ 215
    8901 ÷ 32768     		y = 0.271636962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44683837890625 × 2 - 1) × π
    -0.1063232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33402432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271636962890625 × 2 - 1) × π
    0.45672607421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.43484727942752
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33402432} λ = -0.33402432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43484727942752))-π/2
    2×atan(4.19900368557084)-π/2
    2×1.33699968357929-π/2
    2.67399936715859-1.57079632675     		φ = 1.10320304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33402432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.138184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10320304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.208878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14642 KachelY 8901 -0.33402432 1.10320304 -19.138184 63.208878
    Oben rechts KachelX + 1 14643 KachelY 8901 -0.33383257 1.10320304 -19.127197 63.208878
    Unten links KachelX 14642 KachelY + 1 8902 -0.33402432 1.10311660 -19.138184 63.203925
    Unten rechts KachelX + 1 14643 KachelY + 1 8902 -0.33383257 1.10311660 -19.127197 63.203925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10320304-1.10311660) × R
    8.64400000000209e-05 × 6371000     		dl = 550.709240000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10320304-1.10311660) × R
    8.64400000000209e-05 × 6371000     		dr = 550.709240000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33402432--0.33383257) × cos(1.10320304) × R
    0.000191749999999991 × 0.450739226659237 × 6371000     		do = 550.640730801544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33402432--0.33383257) × cos(1.10311660) × R
    0.000191749999999991 × 0.450816386131534 × 6371000     		du = 550.734991841411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10320304)-sin(1.10311660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450739226659237-0.450816386131534)×R²
    abs(-0.33383257--0.33402432)×7.71594722969171e-05×R²
    0.000191749999999991×7.71594722969171e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.71594722969171e-05×40589641000000     		ar = 303268.893773971m²